감마분포와 지수분포

 

감마 분포

 

연속 확률변수 $X$의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다. 

 

$f(x; \alpha, \beta) =  \frac {1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}x^{\alpha - 1} e^{-\frac {x}{\beta}}$ ($x > 0$)

 

그 외의 $x$에서는 0

 

($\alpha > 0, \beta > 0$)

 

$X$는 모수 $\alpha, \beta$를 가지는 감마 분포를 따릅니다.

 

알파 : 모양을 결정(shape parameter)

 

베타 : 크기를 결정(scale parameter)

 

지수 분포

 

$\alpha = 1$인 특수한 감마 분포를 지수 분포라 합니다.

 

연속 확률변수 $X$의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다. 

 

$f(x; \beta) = \frac {1}{\beta} e^{-\frac {x}{\beta}}$ ($x > 0$)

 

그 외의 $x$에서 0

 

($\beta > 0$)

 

$X$는 모수 $\beta$를 가지는 지수 분포를 따릅니다.

 

 

감마 분포가 확률분포의 조건을 만족하는지 증명

 

$\Gamma(\alpha) = \int^{\infty}_{0} t^{\alpha - 1} e^{-t} dt$이므로 

 

$1 = \int^{\infty}_{0} \frac {1}{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha - 1} e^{-t} dt$가 성립합니다.

 

양수 $\beta$에 대해 $x = \beta t$, 즉 $t = \frac {x}{\beta}$라 하면 $dt = \frac {1}{\beta} dx$이고

 

$1 = \int^{\infty}_{0} \frac {1}{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha - 1} e^{-t} dt 

= \int^{\infty}_{0} \frac {1}{\Gamma(\alpha)} (\frac{x}{\beta}) ^ {\alpha - 1} e^{-\frac {x}{\beta}}\frac {1}{\beta} dx

= \int^{\infty}_{0} \frac{1}{\Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} x^{\alpha - 1} e^{-\frac {x}{\beta}}dx

= \int^{\infty}_{0} f(x; \alpha, \beta) dx$

 

 

감마 분포의 평균과 분산  

 

$\mu = \alpha \beta$, $\sigma^{2} = \alpha \beta^{2}$

 

증명 : 

 

$\mu = E(X) = \int^{\infty}_{0} \frac {1}{\Gamma(\alpha) \beta^{\alpha}} x^{\alpha} e^{-\frac {x}{\beta}}dx $

 

$y = \frac {x}{\beta}$로 치환하면, $\mu = \frac {\beta}{\Gamma(\alpha)} \int^{\infty}_{0} y^{\alpha} e^{-y} dy$

 

$= \frac {\beta \Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha)} = \alpha \beta$

 

$E(X^{2}) = \frac {1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} \int^{\infty}_{0} x^{\alpha + 1} e^{-x\beta} dx = \frac {\beta^{2}}{\Gamma(\alpha)} \int^{\infty}_{0} y^{\alpha + 1} e^{-y} dy = \frac {\beta^{2}}{\Gamma(\alpha)} \Gamma(\alpha + 2) = (\alpha + 1)\alpha \beta^{2}$

 

$\sigma^{2} = E(X^{2}) - \mu^{2} = (\alpha + 1)\alpha \beta^{2} - \alpha^{2}\beta^{2} = \alpha \beta^{2}$

 

 

지수 분포의 평균과 분산  

 

$\mu = \beta$, $\sigma^{2} = \beta^{2}$

 

 

감마분포와 지수 분포 정리  

 

감마 분포는 일정 간격 동안 발생 횟수의 평균($\frac {1}{\beta}$)이 주어질 때 $\alpha$번 연속적으로 발생했을 시간에 대한 확률분포입니다. 

 

지수 분포는 첫 번째 발생하기까지 걸리는 시간에 대한 확률분포입니다. 

 

 

유니와이즈 수리통계학의 내용을 바탕으로 요약 작성되었습니다.