로그정규분포

 

로그정규분포

 

확률변수 $Y = ln(X)$가 평균 $\mu$이고 표준편차 $\sigma$인 정규분포를 따를 때 확률변수 $X$의 분포를

 

로그 정규분포(lognormal distribution)라고 합니다. $X$의 밀도 함수는 다음과 같습니다.

 

$f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x} e^{-\frac {1}{2\sigma^{2}}(lnx - \mu)^{2}}$, x > 0

 

그 외의 x에서는 0입니다.

 

로그정규분포

 

$\phi$를 표준정규분포의 밀도 함수, $\Phi$를 그 누적분 포함 수라 하면

 

$Y = ln(X)$이므로 $X = e^{Y}$입니다.

 

$F(x) = P(X \leq x) = P(e^{Y} \leq x) = P(Y \leq lnx) = P(\frac {Y-\mu}{\sigma} \leq \frac {lnx-\mu}{\sigma}) = \phi(\frac {lnx - \mu}{\sigma})$

 

$f(x) = F'(x) = (\Phi(\frac{lnx - \mu}{\sigma}))' = \frac {1}{x}\phi(\frac {lnx - \mu}{\sigma}) = \frac {1}{x\sigma \sqrt {2\pi}}e^{-\frac{(lnx - \mu)^2}{2\sigma^{2}}}$

 

 

로그 정규분포의 평균과 분산

 

$\mu = e^{\mu + \frac {\sigma^2}{2}}$ 

$\sigma^{2} = e^{2\mu + \sigma^{2}}(e^{\sigma^2}-1)$

 

 

로그 정규분포 예시

 

공장에서 배출되는 오염물질의 농도(ppm)가 $\mu = 3.2$이고, $\sigma = 1$인 로그 정규분포를 따른다고 할 때,

 

농도가 8ppm을 초과할 확률은?

 

풀이)

 

오염물질의 농도를 $X$라 하면, $lnX$는 평균 $\mu = 3.2$이고 표준편차 $\sigma = 1$인 로그 정규분포를 따르므로,

 

$P(X \leq 8) = \Phi(\frac{ln8 - 3.2}{1}) = \Phi(-1.12) = 0.1314$ ($\Phi$는 표준 정규분포의 누적 함수)

 

오염물질의 농도가 8ppm을 초과할 확률은 $P(X > 8) = 1 - P(X \leq 8)$ = 1 - 0.1314 = 0.8686