정규분포 - 유도

 

다음 적분을 고려합니다. 

 

$I = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(\frac{-z^{2}}{2})dz$

 

위의 적분은 아래의 두 식을 통해 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 

 

$0 < exp(\frac{-z^{2}}{2}) < exp(-|z|+1), -\infty < z < \infty$

 

$\int_{-\infty}^{\infty} exp(-|z| + 1)dz = 2e$

 

Integral $I$를 계산하기 위해 $I > 0$과 $I^{2}$이 다음과 같음을 기억합니다. 

 

$I^{2} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}exp(-\frac{z^{2}+w^{2}}{2})dzdw$

 

위의 iterated integral은 polar coordinates로 바뀔 수 있습니다. 

 

$z = rcos\theta$,  $w = r sin\theta$로 설정하면 

 

$I^{2} = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}/2}rdrd\theta$ 

$= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta = 1$이 됩니다.

 

$I = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(\frac{-z^{2}}{2})dz$이 positive on $R$이기 때문에 integrates to 1 over R이 됩니다. 

 

따라서 Z의 pdf는 

 

$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(\frac{-z^{2}}{2}), -\infty < z < \infty$와 같습니다. 

 

$t \in R$, the mgf of Z를 제곱꼴로 바꿔주면 

 

$E[exp\begin{Bmatrix} tZ \end{Bmatrix}]$  

$= \int_{-\infty}^{\infty} exp\begin{Bmatrix} tz \end{Bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp\begin{Bmatrix}  -\frac{1}{2} z^{2}  \end{Bmatrix} dz$ 

$= exp\begin{Bmatrix} \frac{1}{2} t^{2} \end{Bmatrix} \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{1}{\sqrt{2\pi}} exp \begin{Bmatrix} -\frac{1}{2} (z-t)^{2}  \end{Bmatrix} dz$ 

$= exp\begin{Bmatrix} \frac{1}{2} t^{2} \end{Bmatrix} \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{1}{\sqrt{2\pi}} exp \begin{Bmatrix} -\frac{1}{2} w^{2}  \end{Bmatrix} dw$

 

$w = z -t$로 변환하면

 

$exp\begin{Bmatrix}  \frac{1}{2} t^{2}  \end{Bmatrix} \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{1}{\sqrt{2\pi}} exp \begin{Bmatrix}  -\frac{1}{2} w^{2}   \end{Bmatrix} dw$는 1이고

 

The mgf of Z는 

 

$M_{Z}(t) = exp\begin{Bmatrix} \frac{1}{2} t^{2}\end{Bmatrix}, for -\infty < t < \infty$입니다. 

 

미분을 해주면 

 

$M'_{Z}(t) = texp\begin{Bmatrix} \frac{1}{2} t^{2}\end{Bmatrix}$

 

$M''_{Z}(t) = exp\begin{Bmatrix} \frac{1}{2} t^{2}\end{Bmatrix} + t^{2}exp\begin{Bmatrix} \frac{1}{2} t^{2} \end{Bmatrix}$

 

$t = 0$일 때 Z의 평균과 분산은 다음과 같습니다. 

 

$E(Z) = 0$ and $Var(Z) = 1$ 

 

연속 랜덤 변수 X를 다음과 같이 정의하면 

 

$X = bZ + a$

 

$b > 0$에서 일대일 변환입니다. 

 

$z = b^{-1}(x - a)$이고 $J = b^{-1}$일 때, pdf of $X$는 

 

$f_{X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}b}exp\begin{Bmatrix} -\frac{1}{2} (\frac{x - a}{b})^{2} \end{Bmatrix}, -\infty < x < \infty$입니다. 

 

$E(X) = a$이고 $Var(X) = b^{2}$.

 

바꿔쓰면 

 

$a$를 $\mu = E(X)$, $b^{2}$를 $\sigma^{2} = Var(X)$입니다. 

 

 

Hogg 수리통계학 7판의 내용을 바탕으로 요약 작성되었습니다.