감마함수

 

감마함수

 

$\alpha > 0 $인 $\alpha$에 대해 $\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha - 1} e^{-x} dx$

 

 

감마함수 특징 및 증명

 

$\alpha > 1$일 때 $\Gamma(\alpha) = (\alpha - 1)\Gamma(\alpha - 1)$

 

$\Gamma(1) = 1$, 양의 정수 n에 대해 $\Gamma(n) = (n - 1)!$

 

증명 :

 

$\alpha > 1$인 경우, 부분 적분($u = x^{\alpha - 1}, dv = e^{-x} dx$)을 이용합니다.

 

$\Gamma(\alpha) = -e^{-x} x^{\alpha - 1}\mid^{\infty}_{0} +\int_{0}^{\infty} e^{-x}(\alpha - 1) x^{\alpha - 2} dx  = (\alpha - 1)\int^{\infty}_{0} x^{\alpha - 2} e^{-x} dx = (\alpha -1)\Gamma(\alpha - 1)$

 

$\Gamma(\alpha) = (\alpha - 1)\Gamma(\alpha - 1)$

 

$\Gamma(\alpha) = (\alpha - 1)\Gamma(\alpha - 1)$ 

$= (\alpha - 1)(\alpha - 2)\Gamma(\alpha - 2)$ 
  
$= (\alpha - 1)(\alpha - 2)(\alpha - 3)\Gamma(\alpha - 3)$

 

$\alpha = n$이 양의 정수이면 $\Gamma(n) = (n-1)(n-2)\cdots 1 \cdot \Gamma(1)$ 

$\Gamma(1) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = 1$이므로

 

$\Gamma(n) = (n-1)!$ 성립합니다.

 

 

$\Gamma(\frac {1}{2}) = \sqrt {\pi}$ 증명

 

$\Gamma(\alpha) = \int^{\infty}_{0} e^{-t} t^{\alpha - 1} dt$

 

$\Gamma(\frac {1}{2}) = \int^{\infty}_{0} e^{-t} t^{-\frac {1}{2}} dt$

 

$x = \sqrt {t}$로 치환, $dx = \frac {1}{2\sqrt {t}} dt = \frac {1}{2} t^{-\frac {1}{2}} dt, x^{2} = t$이고,

 

$\Gamma(\frac {1}{2}) = 2\int^{\infty}_{0} e^{-x^{2}} dx$로 변환됩니다.

 

$\Gamma(\frac {1}{2})^{2} = 4\int^{\infty}_{0} e^{-x^{2}} dx\int^{\infty}_{0} e^{-y^{2}} dy$

 

$= 4\int^{\infty}_{0}\int^{\infty}_{0} e^{-(x^{2}+y^{2})} dxdy$

 

$(x, y)$의 이중 적분이고, 극좌표를 이용합니다. ($x = rcos\theta, y = r sin\theta , x^{2} + y^{2} = r^{2}$)

 

$dxdy$는 $rdrd\theta$로 바뀌고, $(x, y)$ 좌표의 1 사분면 영역($0 \leq x < \infty,  0 \leq y < \infty$)은 

 

$0 \leq \theta \leq \frac {\pi}{2}$, $0 \leq r < \infty$로 표현됩니다.

 

($\int\int_{x, y} f(x, y) dxdy \int\int_{r, \theta} f(rcos\theta, rsin\theta) rdrd\theta$)

 

$\Gamma(\frac {1}{2})^{2} = 4\int^{\frac {\pi}{2}}_{0}\int^{\infty}_{0} e^{-r^{2}} rdrd\theta$ 

$= 4 \cdot \frac {\pi}{2}\int_{0}^{\infty} re^{-r^{2}}drd\theta$

$= 2\pi(-\frac {1}{2})\left [ e^{-r^{2}} \right ]^{\infty}_{0}$ 

$= \pi$ 

 

따라서 $\Gamma(\frac {1}{2}) = \sqrt {\pi}$

 

 

유니와이즈 수리통계학의 내용을 바탕으로 요약 작성되었습니다.