정규분포 - 평균과 분산 증명

 

정규분포 평균 증명

 

$\int_{-\infty}^{\infty} n(x;\mu,\sigma) dx = \frac {1}{\sqrt {2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac {1}{2}(\frac {x-\mu}{\sigma})^{2}}dx = 1$

 

$E(X)= \frac {1}{\sqrt {2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-\frac {1}{2}(\frac {x-\mu}{\sigma})^{2}}dx$

 

$z = \frac {x-\mu}{\sigma}$로 놓으면, $x = \sigma z + \mu$, $dx = \sigma dz$이고,

 

$E(X) = \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(\mu +\sigma z) e^{-\frac {z^{2}}{2}} dz$

 

$= \mu \frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac {z^{2}}{2}} dz + \frac {\sigma}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} ze^{-\frac {z^{2}}{2}} dz$

 

$\frac {1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac {z^{2}}{2}} dz$은 평균 0, 분산 1인 정규분포의 적분이므로 1입니다.

 

$\int_{-\infty}^{\infty} ze^{-\frac {z^{2}}{2}} dz = \int_{-\infty}^{0} ze^{-\frac {z^{2}}{2}}dz + \int_{0}^{\infty} ze^{-\frac {z^{2}}{2}}dz = -e^{-\frac {z^{2}}{2}}\mid_{-\infty }^{0}-e^{-\frac {z^{2}}{2}}\mid_{0}^{\infty}=0$

 

$E(X) = \mu * 1 + \frac {\sigma}{\sqrt {2\pi}} * 0 = \mu$가 성립합니다.

 

 

정규분포 분산 증명

 

$E[(X-\mu)^{2}]=\frac {1}{\sqrt {2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2} e^{-\frac {1}{2}(\frac {x-\mu}{\sigma})^{2}}dx$

 

$z = \frac {x-\mu}{\sigma}$로 치환하면 $dx = \sigma dz$이고,

 

$E[(X-\mu)^{2}]=\frac {\sigma^{2}}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} z^{2} e^{-\frac {z^{2}}{2}}dz$를 얻습니다.

 

부분 적분을 시행하여 ($u=z, dv = ze^{\frac {-z^{2}}{2}}dz, du=dz, v = -e^{\frac {-z^{2}}{2}}$)

 

$E[(X-\mu)^{2}]=\frac {\sigma^{2}}{\sqrt {2\pi}}(-ze^{\frac {-z^{2}}{2}}\mid _{-\infty}^{\infty} + \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac {-z^{2}}{2}}dz) =\sigma^{2}(0+1) = \sigma^{2}$

 

<$-\frac {z}{e^{\frac {z^{2}}{2}}}$의 로피탈 법칙 적용($\frac {\infty}{\infty}$의 형태)>

 

 

유니와이즈 수리통계학의 내용을 바탕으로 요약 작성되었습니다.