프로그래머를 위한 선형대수/고윳값, 대각화, 요르단 표준형 - 폭주 위험18 4.7.3 요르단 표준형의 성질 요르단 표준형의 장점 고윳값, 고유 벡터의 모양이 보입니다. 거듭제곱을 구체적으로 계산할 수 있습니다. 이 두 가지는 폭주 판정과 관련이 있습니다. 요르단 표준형은 블록대각이므로 고윳값이나 거듭제곱 계산은 블록별로 보면 알 수 있습니다. 다음 요르단 셀을 이용하여 학습하겠습니다. $B = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 7 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 7\\ \end{pmatrix}$ 요르단 표준형의 고윳값 요르단 셀 $B$의 고윳값은 7밖에 없습니다. (상삼각 행렬) $\mathbf {p} = (\alpha, 0, 0, 0)^{T}$가 고윳값 7의 고유 벡터입니다. ($\alpha \neq 0$) 이 외의 고유 벡터는 없습니다. 요.. 2019. 10. 1. 4.7.2 대각까지는 못하더라도 - 요르단 표준형 대각 화할 수 없는 정방 행렬 A라도 대각에 가까운 요르단 표준형이라면 반드시 변환할 수 있습니다. 다시 말하면 정방행렬 A에 대해 크기가 같은 좋은 정칙 행렬 P를 골라 $P^{-1} AP = J$가 요르단 표준형이 되도록 할 수 있습니다. $J = \begin{pmatrix} & & & & & |& & & |& & | & & & \\ 3& 1& & & & |& & & |& & |& & & &\\ & 3 &1 & & &| & & & | & & | & & & &\\ & & 3 &1 & & |& & & |& & | & & & &\\ & & & 3 &1 & |& & & |& & | & & & &\\ & & & & 3 & | & & & |& & | & & & &\\ -&- &- & - & - & | & - &.. 2019. 9. 24. 4.7 대각화할 수 없는 경우 대각 화할 수 있는 $A$의 경우 $\mathbf {x}(t) = A\mathbf {x}(t - 1)$이나 $\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\mathbf {x}(t) = A\mathbf {x}(t)$의 폭주 판정은 'A의 고윳값을 보면 됩니다'. 보통 $A$는 대각화가 가능하므로 대부분 해결 가능하지만 대각화 할 수 없는 예외적인 $A$가 있습니다. 이 경우 앞서 했던 방법이 통하지 않기 때문에 다른 방법으로 폭주 판정을 해야 합니다. ▶ 이산 시간 $\mathbf {x}(t) = A\mathbf {x}(t - 1)$의 경우 $A$의 고윳값 $\lambda$에서 $\mid \lambda \mid > 1$인 것이 하나라도 있으면 폭주힙니다, 모든 고윳값 $\lambda$가 .. 2019. 9. 20. 4.6.4 대각화할 수 있는 경우, 4.6.4 결론: 고윳값(실수부)의 부호 일반 행렬 A를 대각으로 만듭니다. 원래 변수 $\mathbf {x}(t)$에 어떤 정칙 행렬 P를 가져와 $\mathbf {x}(t) = P\mathbf {y}(t)$ 다른 변수 $\mathbf {y}(t)$로 변환합니다. 다르게 표현하면 물론 $\mathbf{y}(t) = P^{-1}\mathbf {x}(t)$입니다. 미분방정식 $\frac {\mathrm {d} \mathbf{x}}{\mathrm {d} t} = A\mathbf{x}(t)$가 변환되는 모습을 보면 $\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\mathbf{y}(t) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(P^{-1}\mathbf{x}(t)) = P^{-1}\frac{\mathrm{d} }{.. 2019. 9. 19. 이전 1 2 3 4 5 다음