4.6.4 대각화할 수 있는 경우, 4.6.4 결론: 고윳값(실수부)의 부호

일반 행렬 A를 대각으로 만듭니다.

 

원래 변수 $\mathbf {x}(t)$에 어떤 정칙 행렬 P를 가져와

 

$\mathbf {x}(t) = P\mathbf {y}(t)$

 

다른 변수 $\mathbf {y}(t)$로 변환합니다.

 

다르게 표현하면 물론 $\mathbf{y}(t) = P^{-1}\mathbf {x}(t)$입니다.

 

미분방정식 $\frac {\mathrm {d} \mathbf{x}}{\mathrm {d} t} = A\mathbf{x}(t)$가 변환되는 모습을 보면 

 

$\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\mathbf{y}(t) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(P^{-1}\mathbf{x}(t)) = P^{-1}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\mathbf {x}(t) = P^{-1} A\mathbf {x}(t) = P^{-1} A(P\mathbf {y}(t)) = (P^{-1} AP)\mathbf {y}(t)$

 

즉, y로 보면 미분방정식은 

 

$\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\mathbf {y}(t) = \Lambda\mathbf {y}(t)$  

$\Lambda = P^{-1} AP$

 

로 바뀝니다.

 

이 변환법은 이산 시간의 경우와 똑같습니다. 대각 화할 수 있는 A와 할 수 없는 A가 있습니다. 대각화할 수 있는 경우에는 

 

A의 고윳값을 $\lambda_{1},..., \lambda_{n}$으로 하고, $\Lambda = diag(\lambda_{1},..., \lambda_{n})$으로 할 수 있습니다.

 

결국 대각 화할 수 있는 경우 A의 고윳값 $\lambda_{1},..., \lambda_{n}$의 실수부가 열쇠로

 

$Re\lambda_{1},..., Re\lambda_{n}$ 중 하나라도 양수이면 폭주

 

$Re\lambda_{1}, ..., Re\lambda_{n} \leq 0$ (모두 $\leq$ 0)이면 폭주하지 않습니다.