4.7.2 대각까지는 못하더라도 - 요르단 표준형

대각 화할 수 없는 정방 행렬 A라도 대각에 가까운 요르단 표준형이라면 반드시 변환할 수 있습니다.

 

다시 말하면

 

정방행렬 A에 대해 크기가 같은 좋은 정칙 행렬 P를 골라 $P^{-1} AP = J$가 요르단 표준형이 되도록 할 수 있습니다.

 

$J = \begin{pmatrix}
 &  &  &  &  &  |&  &  &  |&  & | &  &  & \\ 
 3&  1&  &  &  &  |&  &  &  |&  &  |&  &  &  &\\ 
 & 3  &1  &  &  &|  &  &  & | &  & | &  &  & &\\ 
 &  & 3 &1  &  &  |&  &  &  |&  & | &  &  & &\\ 
 &  &  & 3 &1  &  |&  &  &  |&  & | &  &  & &\\ 
 &  &  &  & 3 & | &  &  &  |&  & | &  &  & &\\ 
 -&-  &-  & - & - & | & - & - &  |& - & |&-  &-  &- &\\ 
 &  &  &  &  & | & 3 & 1 & | &  & | &  &  & &\\ 
 &  &  &  &  &  |&  & 3 & | &  & | &  &  & &\\ 
 -&  -&  -& - & - &  |& - & - & | & - & | & - & - & -&\\ 
 &  &  &  &  &  |&  &  & | & 4 & | &  &  & &\\ 
 -&  -&  -&  -& - &  |& - & - & | & - & | &  -&  -&- &\\ 
 &  &  &  &  &  |&  &  & | &  & | & 5 & 1  & &\\ 
 &  &  &  &  &  |&  &  & | &  &  |&  & 5 & 1&\\
 &  &  &  &  &  |&  &  & | &  & |&  &  & 5 &
\end {pmatrix}$    (4.20)

 

아무것도 없는 부분은 모두 0입니다.

 

특징을 보면

 

블록대각(블록정방행렬이고, 대각 블록 이외는 모두 0)

 

대각 블록은 다음과 같은 성질을 지닙니다.

 

대각 성분에 같은 수가 나열한다.

 

하나 호른쪽 위는 1이 비스듬히 늘어선다.

 

이런 블록은 요르단 셀이라고 합니다. 위의 예제에서는 '크기 5의 요르단 셀', '크기 2의 요르단 셀', '크기 1인 요르단 셀', '크기 3인 요르단 셀'이 늘어서 있습니다.