4.6.3 대각행렬일 때

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\begin{pmatrix}
x_{1}(t)\\x_{2}(t) 
\\ x_{3}(t)

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
 5&  0& 0\\ 
 0&  3& 0\\ 
 0&  0& -8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1}(t)\\x_{2}(t) 
\\ x_{3}(t)

\end{pmatrix}$

 

우변은 행렬로 복잡하게 쓰여있지만, 계산하면 

 

$\begin{pmatrix}
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x_{1}(t)\\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x_{2}(t) 
\\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} x_{3}(t)

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5x_{1}(t)\\3x_{2}(t) 
\\-8x_{3}(t) 

\end{pmatrix}$

 

입니다. 이 '행렬미분방정식'은 

 

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x_{1}(t) =5x_{1}(t)$ 

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x_{2}(t) =3x_{2}(t)$  

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}x_{3}(t) =-8x_{3}(t)$

 

세 미분방정식을 정리하여 쓴 것뿐입니다.  

 

이렇게 정리하면 각각 바로 풀리는 것이 보이시나요?

 

$x_{1}(t) = x_{1}(0)e^{5t}$ 

 

$x_{2}(t) = x_{2}(0)e^{3t}$

 

$x_{3}(t) = x_{3}(0)e^{-8t}$

 

$t \rightarrow \infty$인 경우 $e^{5t}$, $e^{3t}$ $\rightarrow \infty$이므로

 

$x_{1}(0) = x_{2}(0) = 0$이 아닌 이상 $\mathbf{x}(t)$의 성분은 발산합니다.

 

이 시스템은 폭주의 위험이 있다고 판단됩니다. 이 문제가 간단하게 풀린 이유는 랭크행렬이 대각이기 때문입니다.

 

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\mathbf{x}(t) = A\mathbf{x}(t)$

 

$A = diag(a_{1}, ..., a_{n})$

 

$\mathbf{x}(t) = (x_{1}(t), ..., x_{n}(t))^{T}$

 

이면 $A\mathbf{x}$는 단지 $(a_{1}x_{1}, ..., a_{n}x_{n})^{T}$이므로 

 

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x_{1}(t) = a_{1}x_{1}(t)$

 

$\vdots$

 

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x_{n}(t) = a_{n}x_{n}(t)$

 

를 정리하여 쓴 것뿐입니다. 바로 풀면

 

$x_{1}(t) = x_{1}(0)e^{a_{1}t}$ 

 

$\vdots$

  
$x_{n}(t) = x_{n}(0)e^{a_{n}t}$

 

결론은 $a_{1}, ..., a_{n}$ 중 하나라도 양수라면 폭주, $a_{1}, ..., a_{n} \leq 0$ 이라면 폭주하지 않습니다. 

 

단, 복소수의 경우까지 포함하면 달라집니다!