4.6 연속시간 시스템, 4.6.1 미분방정식

지금까지 시간 t가 이산(t = 0, 1, 2...)인 경우를 다뤘습니다.

 

대부분의 물리 현상은 시각 t가 연속인 미분방정식으로 설명합니다.

 

따라서 물리적인 대상에 관한 제어 문제에서는 연속 시간 시스템에 대해서도 폭주를 판정하고 싶어 집니다.

 

연속 시간인 경우도 스토리는 이산 시간과 같지만 폭주 판정의 조건은 조금 다릅니다. 

 

 

보통의 방정식은 

 

3x - 12 = 0

 

과 같이 미지수 x를 포함하는 등식을 보고, 이 등식이 성립하는 x의 값을 답하는 것입니다. 이 예라면 해는 4

 

미분방정식은 

 

$\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}x(t) = 12-3x(t), x(0)=9$

 

와 같이 미지의 함수 x(t)와 그 미분 $\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t} x(t)$를 포함하는 등식을 보고, 

 

이 등식이 성립하는 함수 x(t)를 답하는 것입니다.

 

위의 예라면 $x(t) = 5e^{-3t}+4$가 해입니다.

 

대입하면 

 

$\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}x(t) = 5\cdot(-3)e^{-3t} = -15e^{-3t}$

 

$12-3x(t) = 12 - 3(5e^{-3t}+4) = -15e^{-3t}$

 

로 일치하고, x(0) = $5e^{0}+4 = 9$입니다(지수함수의 성질 $de^{at}/dt = ae^{at}$나 $e^{0}=1$을 사용)

 

이 미분방정식은 다음과 같은 '흐름'의 이야기로도 해석이 가능합니다.

 

곧게 뻗은 수로를 상상해 주십시오. 수로의 위치 x에서 유속은 12-3x라고 합니다. 시각 0, 위치 9에서 나뭇잎 배를 띄워 떠내려 보냈습니다. 시각 t에는 나뭇잎 배가 어느 위치에 있을까요?

 

시각 t일 때 나뭇잎 배의 위치를 x(t)라고 둡시다. 시각 t일 때 나뭇잎 배의 속도 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} x(t)$눈 그때의 위치 x(t)에서의 유속, 즉 12 - 3x(t)입니다. 

 

결국에 우리는 정방 행렬 A에 대한

 

$\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\mathbf {x(t)} = A\mathbf {x(t)}$

 

라는 형태의 미분방정식을 다루고 이 미분방정식이 폭주의 위험을 지니는가 아닌가 판정하는 것이 목표입니다.