4.5.3 고윳값의 계산: 특성방정식

벡터 $\textbf{p}$가 nxn 행렬 A의 고유벡터다(고윳값은 $\lambda$)라는 것은 어떤 상황일까?

 

$(\lambda I - A)\textbf{p} = \textbf{0}$ 

 

$\textbf{0}$이 아닌 벡터 $\textbf{p}$에 행렬 $(\lambda I - A)$를 곱하면 $\textbf{0}$이 되어 버린, 즉 행렬 

$(\lambda I - A)$가 '납작하게 누르는' 특이행렬이 된 것 

 

이러한 특이행렬의 행렬식은 0이 된다. 

 

$\textbf{0}$이 아닌데 $(\lambda I - A)$를 곱하면 $\textbf{0}$이 되어버리는 벡터가 존재하기 때문에

 

$\lambda$가 A의 고윳값인 것가

 

$\phi_{A}(\lambda) \equiv det(\lambda I - A)$가 0이 되는 것은 동치입니다..

 

$\phi_{A}(\lambda)$를 특성다항식이라 부르고, $\lambda$의 방정식 $\phi_{A}(\lambda) = 0$을 특성 방정식이라고 합니다. 고유다항식, 고유방정식이라 부르는 사람도 있습니다.

 

1. 

 

$A=\begin{bmatrix}  5&0  &0 \\   0&3  &0 \\   0&  0& 8 \end{bmatrix}$의 경우

 

$\phi_{A}(\lambda) = det\begin{bmatrix} \lambda -5 &0  &0 \\   0&\lambda -3  &0 \\   0&  0& \lambda -8 \end{bmatrix}$

 

=$(\lambda-5)(\lambda-3)(\lambda-8)$

 

이므로 특성방정식 $\phi_{A}(\lambda) = 0$의 해는 $\lambda$ = 5, 3, 8입니다.

 

2. 

 

$A=\begin{bmatrix}   5&0  &0 \\    0&3  &0 \\    0&  0& 5  \end{bmatrix}$의 경우

 

$\phi_{A}(\lambda) = (\lambda -3)(\lambda-5)^{2}$이 되어 특성방정식 $\phi_{A}(\lambda) = 0$의 해는 $\lambda = 3, 5$(이중해) 따라서 고윳값은 3과 5입니다. 단 중근이 나온 경우는 어떤 상황인지 경계가 필요하다. 

 

3. 상삼각행렬이나 하삼각행렬의 경우도 행렬식이 대각성분의 곱이므로 쉽게 계산 가능하다. 

 

4. 

 

$A=\begin{bmatrix}  3& -2\\   1& 0 \end{bmatrix}$

 

특성다항식은 

 

$\phi_{A}(\lambda) = det\begin{bmatrix} \lambda -3 & 2\\   -1&  \lambda  \end{bmatrix}$

 

$= (\lambda-3)\lambda -2\cdot (-1) = \lambda ^{2}-3\lambda +2=(\lambda -1)(\lambda -2)$

 

이므로 고윳값은 1과 2

 

 

5. 고윳값, 고유벡터가 복소수인 경우가 있지만 여기서는 다루지 않겠습니다.