4.5.4 고유벡터의 계산

행렬 A의 고윳값 $\lambda$이 구해지면 남은 것은 고유벡터 $\textbf{p}$를 간단하게 찾는 것입니다.

 

 

예제 1: 2 X 2로 사전 연습

 

$A = \begin{pmatrix}
3 & -2\\ 
1 & 0
\end{pmatrix}$

 

고윳값은 이미 구한 대로 $\lambda$ = 1, 2입니다. 

 

(참조: https://bizzengine.tistory.com/24)

4.5.3 고윳값의 계산: 특성방정식

 

고유벡터 $\textbf{p}$ = $(p_{1}, p_{2})^{T}$로 두고 $A\textbf{p} = \lambda\textbf{p}$를 만족시키는 $p_{1}, p_{2}$를 찾읍시다.

 

고윳값 $\lambda$ = 1은

 

$\begin{pmatrix}
3 & -2\\ 
1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
p_{1}\\p_{2} 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
p_{1}\\p_{2} 
\end{pmatrix}$

 

즉, 

 

$3p_{1} - 2p_{2} = p_{1}$ 
$p_{1} = p_{2}$

 

위 식에서

 

$\textbf{p} = \begin{pmatrix}
\alpha,& \alpha 
\end{pmatrix}^{T}$의 형태가 아니면 안됩니다. 

 

따라서 고윳값 $\lambda = 1$에 대응하는 고유벡터는

 

$\textbf{p} = \alpha\begin{pmatrix}
1\\1 
\end{pmatrix}$ $\alpha$는 0이외의 임의의 수(영벡터는 안된다!)

 

 

고윳값 $\lambda = 2$도 마찬가지로

 

$\begin{pmatrix} 
3 & -2\\  
1 & 0 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
p_{1}\\p_{2}  
\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 
p_{1}\\p_{2}  
\end{pmatrix}$

 

$3p_{1} - 2p_{2} = 2p_{1}$ 
$p_{1} = 2p_{2}$

 

$\textbf{p} = \begin{pmatrix} 
2\alpha,& \alpha  
\end{pmatrix}^{T}$의 형태입니다.

 

따라서 고유벡터는 

 

$\textbf{p} = \alpha\begin{pmatrix} 
2\\1  
\end{pmatrix}$ $\alpha$는 0이외의 임의의 수(영벡터는 안된다!)

 

 

예제 2: 3 X 3으로 실전

 

$A=\begin{pmatrix}
6 &  -3&5 \\ 
 -1&  4&-5 \\ 
 -3&  3& -4
\end{pmatrix}$

 

고윳값을 계산합니다. 

 

$\phi_{A}(\lambda) = det\begin{pmatrix}
\lambda -6 &3  &-5 \\ 
 1& \lambda -4 & 5\\ 
3 & -3 &\lambda +4 
\end{pmatrix}$

$=(\lambda -6)(\lambda -4)(\lambda +4) + 3\cdot 5\cdot 3 + (-5)1(-3) - (\lambda -6)5(-3) - (-5)(\lambda -4)3 - 3\cdot 1(\lambda +4)$

$=\lambda^{3} - 6\lambda^{2} + 11\lambda - 6$

$=(\lambda -3)(\lambda -2)(\lambda -1)$

 

과 같습니다. 그러면 $\phi_{A}(\lambda) = 0$에서 고윳값은 $\lambda = 3, 2, 1$인 것을 알 수 있습니다.

 

다음으로 고유벡터를 계산합니다.

 

고유벡터는 $\textbf{p}$ = $(p_{1}, p_{2}, p_{3})^{T}$ 로 두면 고윳값 3에 대해 

 

$\begin{pmatrix} 
6 &  -3&5 \\  
 -1&  4&-5 \\  
 -3&  3& -4 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
p_1\\p_2 
\\p_3 
\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}
p_1\\p_2 
\\p_3 
\end{pmatrix}$

 

즉,

 

$6p_{1} - 3p_{2} + 5p_{3} = 3p_{1}$ 
$-p_{1} + 4p_{2} - 5p_{3} = 3p_{2}$
$-3p_{1} + 3p_{2} - 4p_{3} = 3p_{3}$

 

이항하여 정리하면

 

$3p_{1} - 3p_{2} + 5p_{3} = 0$ 
$-p_{1} + p_{2} - 5p_{3} = 0$ 
$-3p_{1} + 3p_{2} - 7p_{3} = 0$

 

이 됩니다. 연립일차방정식이므로 변수소거를 진행합니다.

 

$p_{3} = 0$이 구해지고, 각 식에 대입하면

 

$3p_{1} - 3p_{2} = 0$
$-p_{1} + p_{2} = 0$ 
$-3p_{1} + 3p_{2} = 0$ 

 

세 식은 모두 요약하면 $p_{1} = p_{2}$라는 같은 내용을 말하고 있습니다. 그러므로 $p_{1} = p_{2}$이기만 하면 세 식은 만족됩니다. 따라서 답은 $\textbf{p}$ = $(p_{1}, p_{2}, p_{3})^{T}$ = $(\alpha , \alpha , 0)$. $\alpha$는 임의의 수이지만, $\alpha$ = 0이면 $\textbf{p} = \textbf{0}$이 되어버려 고유벡터의 정의와 맞지 않습니다. 결국

 

$\textbf{p} = \alpha\begin{pmatrix}  
1\\1 \\ 0   
\end{pmatrix}$ $\alpha$는 0이외의 임의의 수 

 

이 고윳값 $\lambda = 3$에 대한 고유벡터입니다. 

 

나머지 고윳값 $\lambda$ = 2, 1일 경우에도 똑같이 구해주면 됩니다.

 

 

예제 3: 중복고윳값(성질이 좋은 경우)

 

중복고윳값이 나온 경우는 주의가 필요합니다. 우선 성질이 좋은 예입니다. 

 

$\begin{pmatrix}  
3 &  -1&1 \\   
 0&  2&1 \\   
 0&  0& 3  
\end{pmatrix}$

 

상삼각행렬의 고윳값은 대각성분 그 자체였습니다. 그러므로 A의 고윳값은 3(이중해)과 2입니다.

 

고윳값 2에 대응하는 고유벡터를 $\textbf{p}$ = $(p_{1}, p_{2}, p_{3})^{T}$로 두고 

 

$3p_{1} - p_{2} + 5_{3} = 2p_{1}$ 
$2p_{2} + p_{3} = 2p_{2}$
$3p_{3} = 2p_{3}$

 

이것을 풀면

 

$\textbf{p} = \alpha\begin{pmatrix}   
1\\1 \\ 0    
\end{pmatrix}$ $\alpha$는 0이외의 임의의 수 

 

로 구해지므로 무제 없스빈다. 한편, 고윳값 3에 대응하는 고유벡터를 $\textbf{q}$ = $(q_{1}, q_{2}, q_{3})^{T}$로 두고 

$3q_{1} - q_{2} + q_{3} = 3q_{1}$  
$2q_{2} + q_{3} = 3q_{2}$ 
$3q_{3} = 3q_{3}$

 

이것을 풀면

 

$\textbf{q} = \beta \begin{pmatrix}    
1\\1 \\ 0     
\end{pmatrix}+ \gamma\begin{pmatrix}    
0\\ 1 \\ 1     
\end{pmatrix}$  $\beta,\gamma$는 임의의 수. 단, $\beta=\gamma=0$은 제외

 

로 구해집니다. 

 

어떤 것이 '성질이 좋은가'하면, 이중해의 고윳값 3에 대해 선형독립인 고유벡터가 정확히 두 개 취해지는 것입니다. 이것이 중요한 이유는 이 성질이 대각화 가능성과 직결되기 때문입니다.

 

 

예제 4: 중복고윳값(성질이 나쁜 경우)

 

다음은 성질이 나쁜 예입니다.

 

$\begin{pmatrix}   
3 &  -1&1 \\    
 0&  2&0 \\    
 0&  0& 3   
\end{pmatrix}$

 

A의 고윳값은 전과 마찬가지로 3(이중해)과 2. 고윳값 2에 대응하는 고유벡터도 같습니다.

 

$\textbf{p} = \alpha\begin{pmatrix}    
1\\1 \\ 0     
\end{pmatrix}$ $\alpha$는 0이외의 임의의 수 

 

로 문제가 없습니다. 한편, 고윳값 3에 대응하는 고유벡터를 $\textbf{q}$ = $(q_{1}, q_{2}, q_{3})^{T}$로 두고 

 

$3q_{1} - q_{2} + q_{3} = 3q_{1}$   
$2q_{2} = 3q_{2}$  
$3q_{3} = 3q_{3}$

 

이것을 풀면 

 

$\textbf{q} = \beta \begin{pmatrix}      
1\\0 \\ 0       
\end{pmatrix}$ $\beta$는 0 이외의 임의의 수

 

이번에는 이중해의 고윳값 3에 대해 선형독립인 고유벡터를 1개 밖에 취할 수 없습니다. 

 

이것으로는 아까처럼 대각화가 불가능 합니다.

 

성질이 나쁜 경우에 관한 좀 더 자세한 이야기는 나중에 다루겠습니다.

 

다행스럽게도 대부분의 행렬은 '성질이 좋은 경우'가 됩니다.

 

 

다음 시간에는 연속시간 시스템에 대해 다뤄보겠습니다. 감사합니다.