4.5.2 고윳값, 고유벡터의 성질

$\lambda, \textbf{p}$를 정방행렬 A의 고윳값, 고유벡터로 하고 $\alpha$를 임의의 수라고 한 경우입니다.

 

· A가 고윳값 0을 지니는 것과 A가 특이인 것은 동치다. 즉, A가 고윳값 0을 지니지 않는 것과 A가 정칙인 것은 동치다.

 

· 1.7$\textbf{p}$나 -0.9$\textbf{p}$도 A의 고유벡터다. 일반적으로 $\alpha \neq 0$에 대해 $\alpha\textbf{p}$는 A의 고유벡터다(어느 것이나 다 고윳값은 $\lambda$)

 

· 같은 고윳값 $\lambda$의 고유벡터 $\textbf{q}$를 가져오면 $\textbf{p}+ \textbf{q}$도 A의 고유벡터(고윳값$\lambda$)다. 단, $\textbf{p}+ \textbf{q}$ = 0의 경우는 제외한다.

 

· $\textbf{p}$는 1.7A나 -0.9A의 고유벡터이기도 하다(고윳값은 각각 1.7$\lambda$, -0.9$\lambda$). 일반적으로 $\textbf{p}$는 $\alpha$A의 고유벡터이기도 하다(고윳값은 $\alpha\lambda$) 

 

· $\textbf{p}$는 A + 1.7$I$나 A - 0.9$I$의 고유벡터이기도 하다(고윳값은 각각 $\lambda$ + 1.7, $\lambda$ - 0.9). 일반적으로 $\textbf{p}$는 A + $\alpha I$의 고유벡터이기도 하다(고윳값은 $\lambda$ + $\alpha$).

 

· $\textbf{p}$는 $A^{2}$이나 $A^{3}$의 고유벡터이기도 하다(고윳값은 각각 $\lambda^{2}$, $\lambda^{3}$). 일반적으로 k = 1, 2, 3,... 에 대해 $\textbf{p}$는 $A^{k}$의 고유벡터이기도 하다(고윳값은 $\lambda^{k}$)

· $\textbf{p}$는 $A^{-1}$의 고유벡터이기도 하다($A^{-1}$이 존재한다고 하여). 고윳값은 $1/\lambda$

 

· 대각행렬  $diag(5, 3, 8)$의 고윳값은 5, 3, 8이다. $(1, 0, 0)^{T}, (0, 1, 0)^{T}, (0, 1, 1)^{T}$가 대응하는 고유벡터다. 일반적으로 대각행렬 $diag(a_{1}, ..., a_{n})$의 고윳값은 $a_{1}, ..., a_{n}$. $\textbf{e}_{1}, ..., \textbf{e}_{n}$이 대응하는 고유벡터($e_{i}$는 $i$성분만이 1이고, 나머지는 0인 n차원 벡터)다.