4.6.2 1차원일 때

예를 들어

 

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x(t) = 7x(t)$

 

의 해는 $x(t) = e^{7t}x(0)$입니다. 실제로 대입해보면

 

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x(t) = 7e^{7t}x(0) = 7x(t)$

 

가 확인됩니다.

 

일반적으로 정수 a에 대해

 

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x(t) = ax(t)$의 해는 

 

$x(t) = e^{at}x(0)$이라는 지수함수입니다. 공식 $de^{at}/dt = ae^{at}$와 비교하여 확인해 주십시오

 

$t \rightarrow \infty$에서 이 x(t)가 어떻게 되는지는 a의 부호 나름입니다. a > 0이면 폭주하고, $a\leq 0$이면 폭주하지 않습니다. 

 

 

참고 미분방정식의 해법

 

dx/dt = f(x) 형

 

미분 방정식 

 

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x(t) = -7x(t)$

 

는 다음 순서로 풀 수 있습니다. 공식 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 1/\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$에서

 

$\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = -\frac{1}{7x}$

 

양변을 적분하면 

 

$t = -\int \frac{1}{7x}dx$

 

를 얻습니다. 우변의 적분을 실행하면

 

t = $-\frac{1}{7}log|7x|+C$ (C는 적분상수)

 

변형하여

 

$log|7x| = -7(t-C)$

 

양변을 지수함수에 넣으면

 

$|7x| = e^{-7(t-C)}$

 

즉, 

 

$|x| = \frac{1}{7}e^{7C}e^{-7t}$

 

랭크를 $D \equiv \frac{1}{7}e^{7C}$로 두면

 

$|x| = De^{-7t}$ D는 임의의 양의 정수

 

로 정리됩니다. C가 임의의 정수이므로 D는 임의의 양의 정수가 됩니다. 이렇게 |x(t)|를 구합니다.

 

특히 t = 0인 경우를 생각하면 |x(0)| = D이므로 대입하면

 

$|x(t)| = |x(0)|e^{^{-7t}}$

 

를 얻습니다. 사실 이것은

 

$x(t) = x(0)e^{^{-7t}}$

 

를 의미합니다. x(t)는 t에 관하여 연속이므로

 

x(0) > 0이면 x(t) > 0 

 

x(0) < 0이면 x(t) < 0 

 

이기 때문입니다. 이렇게 해를 구했습니다.

 

다음 시간에는 대각행렬일 경우에 대해서 공부하겠습니다. 감사합니다.