4.7 대각화할 수 없는 경우

대각 화할 수 있는 $A$의 경우 $\mathbf {x}(t) = A\mathbf {x}(t - 1)$이나 $\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\mathbf {x}(t) = A\mathbf {x}(t)$의 폭주 판정은 'A의 고윳값을 보면 됩니다'.

 

보통 $A$는 대각화가 가능하므로 대부분 해결 가능하지만 대각화 할 수 없는 예외적인 $A$가 있습니다.

 

이 경우 앞서 했던 방법이 통하지 않기 때문에 다른 방법으로 폭주 판정을 해야 합니다.

 

 

▶ 이산 시간 $\mathbf {x}(t) = A\mathbf {x}(t - 1)$의 경우

 

$A$의 고윳값 $\lambda$에서 $\mid \lambda \mid > 1$인 것이 하나라도 있으면 폭주힙니다,

 

모든 고윳값 $\lambda$가 $\mid \lambda \mid < 1$이면 폭주하지 않습니다.

 

모든 고윳값 $\lambda \leq  1$이지만, $\mid \lambda \mid = 1$이란 아슬아슬한 고윳값도 있는 경우에는 고윳값만으로는 판정할 수 없습니다.

 

 

▶ 연속 시간 $\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t}\mathbf {x}(t) = A\mathbf {x}(t)$의 경우

 

$A$의 고윳값 $\lambda$에 $Re~  \lambda > 0$인 것이 하나라도 있으면 폭주합니다.

 

모든 고윳값 $\lambda$가 $Re~  \lambda < 0$이면 폭주하지 않는다. 

 

모든 고윳값 $\lambda$가 $Re~  \lambda \leq 0$이지만, $Re ~ \lambda = 0$이란 아슬아슬한 교윳값도 있는 경우에는 고윳값만으로는 판정할 수 없습니다.

 

 

앞으로 이 위와 같은 결론을 내릴 수 있는 방법을 학습하겠습니다.