4.7.3 요르단 표준형의 성질

 

요르단 표준형의 장점

 

고윳값, 고유 벡터의 모양이 보입니다.

 

거듭제곱을 구체적으로 계산할 수 있습니다.

 

이 두 가지는 폭주 판정과 관련이 있습니다.

 

요르단 표준형은 블록대각이므로 고윳값이나 거듭제곱 계산은 블록별로 보면 알 수 있습니다.

 

다음 요르단 셀을 이용하여 학습하겠습니다.

 

$B = \begin{pmatrix}
7 & 1 & 0 & 0\\ 
0 & 7 & 1 & 0\\
0 & 0 & 7 & 1\\
0 & 0 & 0 & 7\\ 
\end{pmatrix}$

 

 

요르단 표준형의 고윳값 

 

요르단 셀 $B$의 고윳값은 7밖에 없습니다. (상삼각 행렬)

 

$\mathbf {p} = (\alpha, 0, 0, 0)^{T}$가 고윳값 7의 고유 벡터입니다. ($\alpha \neq 0$) 이 외의 고유 벡터는 없습니다. 

 

요르단 표준형 $J$의 고윳값, 고유벡터는 한눈에 알 수 있습니다.

 

대각 성분이 고윳값 $\lambda$

 

대각 성분의 $\lambda$ 개수가 고윳값 $\lambda$가 몇 중 해인지(대수적 중복도)에 대응

 

대각 성분이 $\lambda$인 요르단 셀의 개수가 고윳값 $\lambda$에 선형 독립인 고유 벡터 개수(기하적 중복도)에 대응

 

위의 성질에서 $A$가 요르단 표준형으로 변환되면 $A$의 고윳값, 고유 벡터가 어떻게 되어 있는지 알 수 있습니다. 

 

특히 고윳값에 중해가 없을 경우 요르단 표준형은 대각 행렬이 될 수밖에 없습니다. 즉,

 

고윳값에 중해가 없을 경우 대각 화할 수 있습니다. 

 

 

요르단 표준형의 거듭제곱

 

$B = 7I + Z$ 

$Z = \begin {pmatrix} 
0 & 1 & 0 & 0\\  
0 & 0 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 0 & 1\\ 
0 & 0 & 0 & 0\\  
\end {pmatrix}$

 

위와 같이 분해해 두면 계산할 때 예측하기 쉽습니다. 특징은 $Z$가 왼쪽에 곱하면 1행을 밀고 오른쪽에 곱하면 1열 밀기 작용을 합니다.

 

$\begin {pmatrix} 
0 & 1 & 0 & 0\\  
0 & 0 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 0 & 1\\ 
0 & 0 & 0 & 0\\  
\end {pmatrix}  \begin {pmatrix} 
a\\  
b\\ 
c\\ 
d\\  
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
b\\  
c\\ 
d\\ 
0\\  
\end {pmatrix}$

 

$\begin {pmatrix} 
a & e & i & m\\  
b & f & j & n\\ 
c & g & k & o\\ 
d & h & l & p\\  
\end {pmatrix} \begin {pmatrix}  
0 & 1 & 0 & 0\\   
0 & 0 & 1 & 0\\  
0 & 0 & 0 & 1\\  
0 & 0 & 0 & 0\\   
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
0 & a & e & i\\  
0 & b & f & j\\ 
0 & c & g & k\\ 
0 & d & h & l\\  
\end {pmatrix}$

 

모양입니다.

 

이 성질을 이용하면 $Z$의 거듭제곱은 간단합니다.

 

$Z^{2} = \begin {pmatrix}  
0 & 0 & 1 & 0\\   
0 & 0 & 0 & 1\\  
0 & 0 & 0 & 0\\  
0 & 0 & 0 & 0\\   
\end {pmatrix}$,  $Z^{3} = \begin{pmatrix}  
0 & 0 & 0 & 1\\   
0 & 0 & 0 & 0\\  
0 & 0 & 0 & 0\\  
0 & 0 & 0 & 0\\   
\end{pmatrix}$,  $Z^{4} = Z^{5} = \cdots = O$

 

위와 같은 식으로 2 제곱, 3 제곱...으로 늘릴 때마다 1의 위치가 오른쪽 위로 밀리는 것을 알 수 있습니다.

 

이제 $B^{2} = (7I + Z)^{2} = 7^{2} I + 2 \cdot 7Z + Z^{2}$에서

 

$B^{2} = \begin {pmatrix}  
7^{2} & 2 \cdot 7 & 1 & 0\\   
0 & 7^{2} & 2 \cdot 7 & 1\\  
0 & 0 & 7^{2} & 2 \cdot 7\\  
0 & 0 & 0 & 7^{2}\\   
\end {pmatrix}$

 

$B^{3} = (7I + Z)^{3} = 7^{3} I + 3 \cdot 7^{2} Z + 3 \cdot 7Z^{2} + Z^{3}$에서

 

$B^{3} = \begin {pmatrix}  
7^{3} & 3 \cdot 7^{2} & 3 \cdot 7 & 1\\   
0 & 7^{3} & 3 \cdot 7^{2} & 3 \cdot 7\\  
0 & 0 & 7^{3} & 3 \cdot 7^{2}\\  
0 & 0 & 0 & 7^{3}\\   
\end {pmatrix}$

 

$B^{4} = (7I + Z)^{4} = 7^{4} I + 4 \cdot 7^{3} Z + 6 \cdot 7^{2} Z^{2} + 4 \cdot 7Z^{3} + Z^{4}$ ($Z^{4} = O$)

 

$B^{4} = \begin {pmatrix}  
7^{4} & 4 \cdot 7^{3} & 6 \cdot 7^{2} & 4 \cdot 7\\   
0 & 7^{4} & 4 \cdot 7^{3} & 6 \cdot 7^{2}\\  
0 & 0 & 7^{4} & 4 \cdot 7^{3}\\  
0 & 0 & 0 & 7^{4}\\   
\end {pmatrix}$

 

더 큰 t 제곱에서도

 

$B^{t} = (7I + Z)^{t} = 7^{t} I + t \cdot 7^{t-1} Z + _{2}^{t}\textrm {C} \cdot 7^{t-2} Z^{2} + _{3}^{t}\textrm {C} \cdot 7^{t-3} Z^{3} + _{4}^{t}\textrm {C} \cdot 7^{t-4} Z^{4} + \cdots + _{t}^{t-2}\textrm {C} \cdot 7^{2} Z^{t-2} + t \cdot 7Z^{t-1} + Z^{t}$에서 ($Z^{4} = Z^{5} = Z^{6} = \cdots = O$)

 

$B^{t} = \begin {pmatrix}  
7^{t} & t \cdot 7^{t-1} & _{2}^{t}\textrm {C} \cdot 7^{t-2} & _{3}^{t}\textrm{C} \cdot 7^{t-3}\\   
0 & 7^{t} & t \cdot 7^{t-1} & _{2}^{t}\textrm{C} \cdot 7^{t-2}\\  
0 & 0 & 7^{t} & t \cdot 7^{t-1}\\  
0 & 0 & 0 & 7^{t}\\   
\end {pmatrix}$

 

도 구해집니다(t = 1, 2,...).

 

대각 성분이 $\lambda$인 요르단 셀 $B$에 대해 $B^{t}$를 계산하면 $_{t}^{s}\textrm {C}\lambda^{t-s}$ 항이 나타납니다(단, s > t인 경우에는 $_{t}^{s}\textrm{C}\lambda^{t-s} = 0$으로 간주하고 $\lambda^{0} = 1$이라 간주합니다).

 

다음과 같이도 말할 수 있습니다.

 

$f(\lambda) = \lambda^{t}$로 두고, $f$를 $\lambda$로 $s$회 미분한 식을

 

$f^{(s)}(\lambda) = \frac {d^{s}}{d\lambda^{s}}f(\lambda)$

 

로 두면 크기 m의 요르단 셀

 

$B = \begin {pmatrix}
\lambda & 1 &  & \\ 
 &  \ddots & \ddots  & \\ 
 &  &  \ddots & 1\\ 
 &  &  & \lambda
\end {pmatrix}$

 

의 t제곱은 

 

$\begin {pmatrix}  
f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda) & \frac {1}{2} f^{(2)}(\lambda) & \frac{1}{3!}f^{(3)}(\lambda) & \cdots  & \frac{1}{(m-1)!}f^{(m-1)}(\lambda)\\   
 & f(\lambda) & f^{(1)}(\lambda) & \frac{1}{2}f^{(2)}(\lambda) & \cdots  & \frac {1}{(m-2)!} f^{(m-2)}(\lambda)\\  
 &  & \ddots & \ddots & \ddots&\vdots \\  
 &  &  & \ddots &\ddots &\frac {1}{2} f^{(2)}(\lambda)\\ 
 &  &  &  &\ddots  &f^{(1)}(\lambda)\\   
 &  &  &  & &f(\lambda)\\   
\end {pmatrix}$ (4.21)

 

이유는 $f^{s}(\lambda) = t(t-1) \cdots (t - s + 1)\lambda^{t-s}$이기 때문입니다. 

 

$\frac {1}{s!} f^{s}(\lambda) = _{s}^{t}\textrm {C}\lambda^{t-s}$

 

식 (4.20)의 $J$라면 각 요르단 셀

 

$B_{1} = \begin {pmatrix}
3 &  1& 0 & 0 &0 \\ 
0 & 3 & 1 &  0& 0\\ 
0 &  0&  3& 1 &0 \\ 
0 &  0& 0 &  3&1 \\ 
0 & 0 &  0&0  & 3
\end {pmatrix}$,  $B_{2} = \begin{pmatrix}
3 &  1 \\ 
0 & 3 \\ 
\end{pmatrix}$,  $B_{3} = (4)$,  $B_{4} = \begin{pmatrix}
5 &  1& 0\\ 
 0& 5 &1 \\ 
 0& 0 &5 
\end{pmatrix}$ 

 

에 대해 각각 t제곱을 구해두면 

 

$J^{t} = \begin{pmatrix}
B_{1}^{t} & O & O &O \\ 
 O&  B_{2}^{t}&O  & O\\ 
 O&  O&  B_{3}^{t}& O\\ 
 O& O &  O& B_{4}^{t}
\end{pmatrix}$

 

로 구해집니다.

 

요르단 표준형이 아닌 정방 행렬 $A$의 거듭제곱 $A^{t}$는 계산 가능할까요? 

 

$A$를 요르단 표준형 $J$로 변환하면 전과 같이 $A^{t}$를 계산할 수 있습니다.

 

$P^{-1} AP = J$라는 것은 $A = PJP^{-1}$이고, 그 t 제곱은

 

$A^{t} = (PJP^{-1})^{t} = PJ^{t} P^{-1}$입니다. 

 

 

내용이 결고 쉽지 않습니다. 중간중간 막힌 부분은 다시 복습해야 합니다.

 

2019/09/04 - [선형대수/고윳값, 대각화, 요르단 표준형 - 폭주 위험] - 4.5.2 고윳값, 고유 벡터의 성질

 

감사합니다.