2.2.3 역행렬의 계산

 

연립 일차방정식의 응용으로 역행렬을 구하기

 

연립 일차방정식이 풀리면 역행렬도 구할 수 있습니다.

 

$n$차 정방행렬정방 행렬 $A$의 역행렬이란 $AX = I$가 되는 정방 행렬 $X$입니다.

 

$X$를 $X = (\mathbf{x}_{1}, ..., \mathbf {x}_{n})$과 열 벡터로 나타내고, 이에 대응하여 단위행렬 $I$도 $I = (\mathbf {e}_{1},..., \mathbf {e}_{n})$로 나타냅니다.

 

$\mathbf {e}_{i}$는 $i$성분만 1이고, 다른 성분은 0인 벡터가 됩니다. 

 

따라서 $AX = I$는 

 

$A(\mathbf{x}_{1}, ..., \mathbf {x}_{n}) = (A\mathbf {x}_{1},..., A\mathbf {x}_{n}) = (\mathbf {e}_{1},..., \mathbf {e}_{n})$

 

$A\mathbf {x}_{1} = \mathbf {e}_{1}$ 

            $\vdots$  

$A\mathbf {x}_{n} = \mathbf {e}_{n}$

 

을 만족시키는 벡터 $\mathbf {x}_{1},..., \mathbf {x}_{n}$를 구하여 그것을 대입하면 

 

$A^{-1} = (\mathbf {x}_{1},..., \mathbf {x}_{n})$이 얻어집니다. 

 

$A\mathbf {x}_{i} = \mathbf {e}_{i}$는 연립 일차방정식입니다.

 

그러나 이렇게 풀면 연립 일차방정식을 n세트나 풀어야 합니다. 

 

좀 더 시간을 절약할 수 있는 방법이 다음 내용입니다. 

 

 

블록 행렬 표기로 정리하여 풀기 

 

n세트의 연립 일차방정식 $A\mathbf {x}_{i} = \mathbf {e}_{i}$($i = 1,..., n$)을 2.2.2절의 블록 행렬로 풀겠습니다.

 

$(A \mid \mathbf {e}_{i}) \rightarrow (I \mid \mathbf {s}_{i})$ 

                           $\vdots$  

$(A \mid \mathbf {e}_{n}) \rightarrow (I \mid \mathbf {s}_{n})$

 

와 같이 변형하면 $\mathbf {s}_{i}$가 해 $\mathbf {x}_{i}$라는 이야기입니다.. 

 

결국 $A$를 $I$로 변형하는 것이므로 변형 순서는 같습니다. n번 다시 할 필요가 없습니다. 

 

정리하면

 

$(A \mid \mathbf {e}_{1},..., \mathbf {e}_{n}) \rightarrow (I \mid \mathbf {s}_{1},..., \mathbf {s}_{n})$

 

이라 변형하면 편리합니다. 게다가 $(\mathbf {e}_{1},..., \mathbf {e}_{n})$은 $I$이고, $X \equiv (\mathbf {s}_{1},..., \mathbf {s}_{n})$은 최종 결과 그 자체입니다.

 

결국 $(A \mid I) \rightarrow (I \mid X)$

 

로 변형하면 $X$에 $A^{-1}$이 나타납니다.

 

순서를 정리해서 써보면

 

$A$의 우측에 단위행렬 $I$를 써둡니다.

 

연립 일차방정식의 손 계산 방법(2.2.2절)에서 변형하여 좌측(처음 $A$였던 부분)이 $I$가 되도록 합니다.

 

그렇게 되면 우측(처음 $I$였던 부분)에는 $A^{-1}$이 나타납니다.

 

이것이 역행렬의 '손 계산 방법'입니다.

 

2019/09/24 - [선형대수/랭크, 역행렬, 일차방정식] - 2.2.2 연립일차방식의 해법(정칙인 경우) - 가우스 요르단 소거법

 

 

블록 행렬 표기로 정리해서 풀기 예시 

 

$A = \begin {pmatrix}
2 &3  & 3\\ 
3 &4  & 2\\ 
-2 & -2 & 3
\end {pmatrix}$의 역행렬 $A^{-1}$을 구해봅니다.

 

$(A \mid I)$

= $\begin {pmatrix} 
2 &3  & 3 & |& 1& 0 & 0\\
- &-  & - & |& -& - & -\\  
3 &4  & 2 & |& 0& 1 & 0\\  
- &-  & - & |& -& - & -\\  
-2 & -2 & 3 & |& 0& 0 & 1
\end {pmatrix}$ 

 

1행을 1/2배하여 선두에 1을 만듭니다. 

 

-> $\begin {pmatrix} 
1 & \frac {3}{2}  & \frac{3}{2} & |& \frac {1}{2}& 0 & 0\\
- &-  & - & |& -& - & -\\  
3 &4  & 2 & |& 0& 1 & 0\\  
- &-  & - & |& -& - & -\\  
-2 & -2 & 3 & |& 0& 0 & 1
\end {pmatrix}$

 

1행을 (-3) 배하여 2행에 더해 선두를 0으로 만듭니다.

1행을 2배하여 3행에 더해 선두를 0으로 만듭니다.

이것으로 1열을 완성합니다.

 

-> $\begin {pmatrix} 
1 & \frac {3}{2}  & \frac{3}{2} & |& \frac {1}{2}& 0 & 0\\
- &-  & - & |& -& - & -\\  
0 &-\frac {1}{2}  & -\frac {5}{2} & |& -\frac {3}{2}& 1 & 0\\  
- &-  & - & |& -& - & -\\  
0 & 1 & 6 & |& 1& 0 & 1
\end {pmatrix}$

 

2행을 (-2) 배하여 2열(대각성분)에 1을 만듭니다.

 

-> $\begin {pmatrix} 
1 & \frac {3}{2}  & \frac{3}{2} & |& \frac {1}{2}& 0 & 0\\
- &-  & - & |& -& - & -\\  
0 &1  & 5 & |& 3& -2 & 0\\  
- &-  & - & |& -& - & -\\  
0 & 1 & 6 & |& 1& 0 & 1
\end {pmatrix}$ 

 

2행을 (-3/2) 배하여 1행에 더해 2열을 0으로 만듭니다.

2행을 (-1) 배하여 3행에 더해 2열을 0으로 만듭니다.

이것으로 2 열도 완성됩니다. 

 

-> $\begin {pmatrix}  
1 & 0  & -6 & |& -4& 3 & 0\\ 
- &-  & - & |& -& - & -\\   
0 &1  & 5 & |& 3& -2 & 0\\   
- &-  & - & |& -& - & -\\   
0 & 0 & 1 & |& -2& 2 & 1 
\end {pmatrix}$ 

 

이것으로 3 열도 완성됩니다. 

 

-> $\begin {pmatrix}  
1 & 0  & 0 & |& -16& 15 & 6\\ 
- &-  & - & |& -& - & -\\   
0 &1  & 0 & |& 13& -12 & -5\\   
- &-  & - & |& -& - & -\\   
0 & 0 & 1 & |& -2& 2 & 1 
\end {pmatrix}$

 

= ($I \mid A^{-1}$)

 

이 되어,

 

$A^{-1} = \begin {pmatrix} 
-16& 15 & 6\\
13& -12 & -5\\  
-2& 2 & 1
\end {pmatrix}$

 

을 구했습니다.  $A$에 곱해보면 단위행렬 $I$가 됩니다.