연립 일차방정식의 응용으로 역행렬을 구하기
연립 일차방정식이 풀리면 역행렬도 구할 수 있습니다.
n차 정방행렬정방 행렬 A의 역행렬이란 AX=I가 되는 정방 행렬 X입니다.
X를 X=(x1,...,xn)과 열 벡터로 나타내고, 이에 대응하여 단위행렬 I도 I=(e1,...,en)로 나타냅니다.
ei는 i성분만 1이고, 다른 성분은 0인 벡터가 됩니다.
따라서 AX=I는
A(x1,...,xn)=(Ax1,...,Axn)=(e1,...,en)
Ax1=e1
⋮
Axn=en
을 만족시키는 벡터 x1,...,xn를 구하여 그것을 대입하면
A−1=(x1,...,xn)이 얻어집니다.
Axi=ei는 연립 일차방정식입니다.
그러나 이렇게 풀면 연립 일차방정식을 n세트나 풀어야 합니다.
좀 더 시간을 절약할 수 있는 방법이 다음 내용입니다.
블록 행렬 표기로 정리하여 풀기
n세트의 연립 일차방정식 $A\mathbf {x}_{i} = \mathbf {e}_{i}(i = 1,..., n$)을 2.2.2절의 블록 행렬로 풀겠습니다.
(A∣ei)→(I∣si)
⋮
(A∣en)→(I∣sn)
와 같이 변형하면 si가 해 xi라는 이야기입니다..
결국 A를 I로 변형하는 것이므로 변형 순서는 같습니다. n번 다시 할 필요가 없습니다.
정리하면
(A∣e1,...,en)→(I∣s1,...,sn)
이라 변형하면 편리합니다. 게다가 (e1,...,en)은 I이고, X≡(s1,...,sn)은 최종 결과 그 자체입니다.
결국 (A∣I)→(I∣X)
로 변형하면 X에 A−1이 나타납니다.
순서를 정리해서 써보면
A의 우측에 단위행렬 I를 써둡니다.
연립 일차방정식의 손 계산 방법(2.2.2절)에서 변형하여 좌측(처음 A였던 부분)이 I가 되도록 합니다.
그렇게 되면 우측(처음 I였던 부분)에는 A−1이 나타납니다.
이것이 역행렬의 '손 계산 방법'입니다.
2019/09/24 - [선형대수/랭크, 역행렬, 일차방정식] - 2.2.2 연립일차방식의 해법(정칙인 경우) - 가우스 요르단 소거법
블록 행렬 표기로 정리해서 풀기 예시
A=(233342−2−23)의 역행렬 A−1을 구해봅니다.
(A∣I)
= (233|100−−−|−−−342|010−−−|−−−−2−23|001)
1행을 1/2배하여 선두에 1을 만듭니다.
-> (13232|1200−−−|−−−342|010−−−|−−−−2−23|001)
1행을 (-3) 배하여 2행에 더해 선두를 0으로 만듭니다.
1행을 2배하여 3행에 더해 선두를 0으로 만듭니다.
이것으로 1열을 완성합니다.
-> (13232|1200−−−|−−−0−12−52|−3210−−−|−−−016|101)
2행을 (-2) 배하여 2열(대각성분)에 1을 만듭니다.
-> (13232|1200−−−|−−−015|3−20−−−|−−−016|101)
2행을 (-3/2) 배하여 1행에 더해 2열을 0으로 만듭니다.
2행을 (-1) 배하여 3행에 더해 2열을 0으로 만듭니다.
이것으로 2 열도 완성됩니다.
-> (10−6|−430−−−|−−−015|3−20−−−|−−−001|−221)
이것으로 3 열도 완성됩니다.
-> (100|−16156−−−|−−−010|13−12−5−−−|−−−001|−221)
= (I∣A−1)
이 되어,
A−1=(−1615613−12−5−221)
을 구했습니다. A에 곱해보면 단위행렬 I가 됩니다.
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