2.2.4 기본변형

 

기본 변형?

 

앞에서 한 계산의 의미를 기본 변형이란 개념으로 정리하는 것뿐입니다.

 

손 계산 방법에서는 행렬 $(A \mid \mathbf {y})$나 $(A \mid \mathbf {I})$에서 다음 순서를 따랐습니다.

 

어느 행을 c배 한다($c\neq 0$).

 

어느 행의 c배를 다른 행에 더한다.

 

어느 행과 다른 행을 바꿔 넣는다. 

 

이 순서는 모두 '행렬을 곱한다'로 표현할 수 있습니다.

 

 

행렬을 곱한다?

 

예를 들어보겠습니다.

 

$A = \begin {pmatrix}  2 & 3 & 3 & 9  \\   3 & 4 & 2 &  9 \\   -2 & -2& 3 & 2  \end {pmatrix}$에 대해

 

3행을 5배 합니다. 

$\rightarrow$ '단위행렬의 (3, 3) 성분이 5인 행렬 $Q_{3}(5)$'를 곱합니다. 

 

$Q_{3}(5) = \begin {pmatrix}  1 & 0 &0 \\   0 &1  &0 \\    0& 0 & 5  \end {pmatrix}$

 

$Q_{3}(5) A = \begin {pmatrix}  1 & 0 &0 \\   0 &1  &0 \\    0& 0 & 5  \end {pmatrix} \begin {pmatrix}   2 & 3 & 3 & 9  \\    3 & 4 & 2 &  9 \\    -2 & -2& 3 & 2   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}   2 & 3 & 3 & 9  \\    3 & 4 & 2 &  9 \\    -10 & -10& 15 & 10   \end {pmatrix}$

 

1행의 10배를 2행에 더합니다.
$\rightarrow$ '단위행렬의 (2, 1) 성분이 10인 행렬 $R_{2, 1}(10)$'을 곱합니다.

 

$R_{2,1}(10) = \begin {pmatrix}   1 & 0 &0 \\    10 &1  &0 \\     0& 0 & 1   \end {pmatrix}$

 

$R_{2,1}(10) A = \begin {pmatrix}  1 & 0 &0 \\   10 &1  &0 \\    0& 0 & 1  \end {pmatrix} \begin {pmatrix}   2 & 3 & 3 & 9  \\    3 & 4 & 2 &  9 \\    -2 & -2& 3 & 2   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}   2 & 3 & 3 & 9  \\    23 & 34 & 32 &  99 \\    -2 & -2& 3 & 2   \end {pmatrix}$

1행과 3행을 바꿔 넣습니다.
$\rightarrow$ '단위행렬의 1행과 3행을 바꾼 행렬 $S_{1, 3}$'을 곱합니다.

$S_{1,3} = \begin {pmatrix}   0 & 0 &1 \\    0 &1  &0 \\     1& 0 & 0   \end {pmatrix}$

$S_{1,3} A = \begin {pmatrix}  0 & 0 &1 \\   0 &1  &0 \\    1& 0 & 0  \end {pmatrix} \begin {pmatrix}   2 & 3 & 3 & 9  \\    3 & 4 & 2 &  9 \\    -2 & -2& 3 & 2   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}   -2 & -2 & 3 & 2  \\    23 & 34 & 32 &  99 \\    2 & 3& 3 & 9   \end {pmatrix}$

 

라는 형태가 됩니다. 

 

따라서 손 계산 방법은 '$Q_{i}(c)$, $R_{i, j}(c)$, $S_{i, j}$라는 특별한 형태의 정방 행렬을 (왼쪽부터) 차례로 곱해간다'라고 바꿔 말할 수 있습니다. 이 과정을 (좌) 기본 변형이라고 합니다.

 

이를 잘 파악하면 연립 일차방정식이나 역행렬의 손 계산 방법을 행렬의 언어로 깔끔하게 이해할 수 있습니다.

 

2.2절에서 설명한 가우스 요르단 소거법의 순서로 예를 들면

 

$Q_{1}(1/2) \rightarrow R_{2,1}(-3) \rightarrow R_{3,1}(2) \rightarrow Q_{2}(-2) \rightarrow R_{1, 2}(-3/2) \rightarrow R_{3,2}(-1) \rightarrow R_{1,3}(6) \rightarrow R_{2,3}(-5)$

 

$(A \mid \mathbf {y})$에 왼쪽부터

 

$P = R_{2,3}(-5) R_{1,3}(6) R_{3,2}(-1) R_{1, 2}(-3/2) Q_{2}(-2) R_{3,1}(2) R_{2,1}(-3) Q_{1}(1/2)$ 행렬을 곱하면

 

$(I \mid \mathbf {s})$라는 형태가 됩니다.

 

$P(A \mid \mathbf {y}) = (I \mid \mathbf {s})$로 풀어쓰면 

 

$PA = I$   

 

$P\mathbf {y} = \mathbf {s}$

 

첫 번째 식에서 $P = A^{-1}$임을 알고, 두 번째 식에서 $\mathbf {s} = A^{-1}\mathbf {y}$입니다. 이렇게

$\mathbf {s}$가 $A\mathbf {x} = \mathbf {y}$의 해 $\mathbf {x}$임을 이해할 수 있습니다. 

 

역행렬의 손 계산도 마찬가지로 

 

$(A \mid I)$를 $(I \mid X)$로 변형할 수 있다는 것은 좋은 행렬 P를 찾아내어

 

$P(A \mid I) = (I \mid X)$로 할 수 있다는 의미입니다.

 

풀어쓰면

 

$PA = I$

 

$PI = X$

 

따라서 첫 번째 식에서 $P = A^{-1}$임을 알고, 두 번째 식에서 X = P = $A^{-1}$입니다.