2.2 성질이 좋은 경우(정칙행렬)

2.2.1 정칙 성과 역행렬

 

처음에는 성질이 좋은 경우입니다.

 

$\mathbf {x}$와 $\mathbf {y}$의 차원이 같다면 $A$는 정방 행렬입니다.

 

이때 $A$의 역행렬 $A^{-1}$이 존재하면 식은

 

$\mathbf {x} = A^{-1}\mathbf {y}$

 

로 끝입니다. 이것으로 결과 $\mathbf {y}$에서 원인 $\mathbf {x}$를 알 수 있습니다. 

 

이런 식으로 '역행렬이 존재하는 정방 행렬 $A$'를 정칙 행렬이라고 합니다.

 

정칙이 아닌 행렬은 특이 행렬이라고 합니다.

 

 

2.2.2 연립 일차방정식의 해법(정칙인 경우)

 

$A\mathbf {x} = \mathbf {y}$가 되는 $A\mathbf {x}$구하기 

 

 

변수 소거로 연립방정식 풀기

 

$A = \begin {pmatrix} 2 & 3 & 3\\  3 & 4 & 2\\  -2 &  -2&3  \end {pmatrix} \mathbf {y} = \begin {pmatrix} 9\\9  \\2  \end {pmatrix}$    (2.2)

 

이에 대해 $A\mathbf {x} = \mathbf {y}$가 되는 $\mathbf {x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T}$를 구해봅니다.

 

$2x_{1} + 3x_{2} + 3x_{3} = 9$    (2.3)

$3x_{1} + 4x_{2} + 2x_{3} = 9$    (2.4)

$-2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 2$    (2.5)

 

연립 일차방정식은 다음과 같이 변수를 소거해 나가면 풀립니다.

 

첫 번째 식에서

 

$x_{1} = -\frac {3}{2} x_{2} - \frac {3}{2} x_{3} + \frac {9}{2}$    (2.6)

 

처럼 변수 $x_{1}$을 다른 변수 $x_{2}, x_{3}$로 나타냅니다,

 

나머지 식에 대입하면 

 

$3(-\frac {3}{2} x_{2} - \frac {3}{2} x_{3} + \frac {9}{2}) + 4x_{2} + 2x_{3} = 9$    (2.7) 

$-2(-\frac {3}{2} x_{2} - \frac {3}{2} x_{3} + \frac {9}{2}) - 2x_{2} + 3x_{3} = 2$    (2.8)

 

정리하면 

 

$-\frac {1}{2} x_{2} - \frac {5}{2} x_{3} = -\frac {9}{2}$    (2.9)

$x_{2} + 6x_{3} = 11$    (2.10)

 

변수가 하나 줄어든 연립 일차방정식을 얻었습니다.

 

새로운 방정식의 첫 번째 식에서

 

$x_{2} = -5x_{3} + 9$    (2.11) 

 

와 같이 변수 $x_{2}$를 다른 변수 $x_{3}$로 나타냅니다.

 

나머지 식에 대입하면

 

$(-5x_{3} + 9) + 6x_{3} = 11$    (2.12)

 

정리하면

 

$x_{3} = 2$

 

$x_{3}$ 값이 구해집니다. 

 

구한 $x_{3}$를 $x_{2} = -5x_{3} + 9$ 대입하여

 

$x_{2} = -5 \cdot 2 + 9 = -1$

 

이렇게 $x_{2}, x_{3}$ 값이 구해지면 1단계의 결과인 식 $x_{1} = -\frac {3}{2}x_{2} - \frac{3}{2}x_{3} + \frac{9}{2}$에 대입합니다.

 

$x_{1} = -\frac{3}{2} \cdot (-1) - \frac {3}{2}\cdot2 + \frac {9}{2} = 3$

 

다음과 같은 해를 얻습니다.

 

$\mathbf {x} = \begin {pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3} \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 3\\ -1 \\ 2\end {pmatrix}$

 

검산해보면 $A\boldsymbol {x} = \mathbf {y}$입니다,

 

변수의 개수가 늘어도 방법은 똑같습니다.

 

 

연립 일차방정식을 푸는 과정을 블록 행렬로 표기하다

 

식 (2.3), (2.4), (2.5)는 블록행렬로

 

$\begin {pmatrix}  2 &  3&  3& \mid  9\\   3 &  4&  2& \mid 9\\   -2& -2&  3& \mid 2  \end {pmatrix}\begin {pmatrix}  x_{1}\\ x_{2}  \\x_{3}   \\ - \\-1   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0\\0   \\ 0  \end {pmatrix}$

 

와 같이 쓸 수 있습니다.

 

식 (2.3)에서 식 (2.6) 변형을 블록 행렬로 표기하면 

 

$\begin {pmatrix}  1 &  \frac {3}{2}&  \frac{3}{2}& \mid  \frac {9}{2}\\   3 &  4&  2& \mid 9\\   -2& -2&  3& \mid 2  \end {pmatrix}\begin {pmatrix}   x_{1}\\ x_{2}  \\x_{3}   \\ - \\-1   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0\\0   \\ 0  \end {pmatrix}$

 

1행을 1/2배하여 $x_{1}$에 대응하는 위치(1열)를 1로 만들었습니다,

 

나머지를 진행하면 

 

$\begin {pmatrix}  1 &  \frac {3}{2}&  \frac{3}{2}& \mid  \frac {9}{2}\\   0 &  -\frac {1}{2}&  -\frac {5}{2}& \mid -\frac {9}{2}\\   0& 1&  6 & \mid 11  \end {pmatrix}\begin {pmatrix}   x_{1}\\ x_{2}  \\x_{3}   \\ - \\-1   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0\\0   \\ 0  \end {pmatrix}$

 

$x_{1}$의 소거를 완료하였습니다.

 

$\begin {pmatrix}  1 &  \frac {3}{2}&  \frac{3}{2}& \mid  \frac {9}{2}\\   0 &  1&  5& \mid 9\\   0& 1&  6 & \mid 11  \end {pmatrix}\begin {pmatrix}   x_{1}\\ x_{2}  \\x_{3}   \\ - \\-1   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0\\0   \\ 0  \end {pmatrix}$

 

$\begin {pmatrix}  1 &  \frac {3}{2}&  \frac{3}{2}& \mid  \frac {9}{2}\\   0 &  1&  5& \mid 9\\   0& 0&  1 & \mid 2  \end {pmatrix}\begin {pmatrix}  x_{1}\\ x_{2}  \\x_{3}   \\ - \\-1   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0\\0   \\ 0  \end {pmatrix}$

 

$x_{3} = 2$가 구해집니다. 

 

$\begin {pmatrix} x_{1} + \frac {3}{2} x_{2}+\frac {3}{2} x_{3}-\frac {9}{2}\\x_{2} + 5x_{3}  - 9\\ x_{3} - 2 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end {pmatrix}$ 

 

처럼 쓸 수 있기 때문입니다.

 

$\begin {pmatrix} 1 &  \frac {3}{2}&  \frac{3}{2}& \mid  \frac {9}{2}\\  0 &  1&  0& \mid -1\\  0& 0&  1 & \mid 2 \end {pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\x_{3}  \\ - \\-1  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0  \\ 0 \end{pmatrix}$

 

$x_{2} = -1$을 구하고

 

$\begin {pmatrix} 1 &  0&  \frac {3}{2}& \mid  6\\  0 &  1&  0& \mid -1\\  0& 0&  1 & \mid 2 \end {pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\x_{3}  \\ - \\-1  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0  \\ 0 \end{pmatrix}$

 

$\begin {pmatrix} 1 &  0&  0& \mid  3\\ 0 &  1&  0& \mid -1\\  0& 0&  1 & \mid 2 \end {pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\x_{3}  \\ - \\-1  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0  \\ 0 \end{pmatrix}$

 

$x_{1} = 3$을 구하면 완료입니다.

 

푸는 방법을 정리하면

 

어느 식의 양변을 c배 한다.

 

어느 식의 c배하여 다른 식에 변과 변을 더한다.

 

라는 방법으로 구한 것입니다.

 

블록 행렬로 쓰면 

 

$(A | \mathbf {y})(\frac {\mathbf {x}}{-1})=\mathbf {0}$

 

이고 이 식을 변형하여

 

$(I | \mathbf {s})(\frac {\mathbf {x}}{-1})=\mathbf {0}$ 

 

형태가 되면 $\mathbf {x} - \mathbf {s} = \mathbf {0}$, 즉 $\mathbf {s}$가 해입니다.

 

이상으로 변수 소거법을 행렬로 표현해보았습니다.

 

 

다음 시간에는 가우스 요르단 소거법으로 개념을 도입하여 

 

체계적으로 연습해보겠습니다