4.2 1차원의 경우

 

문제를 만났을 때 유효한 방침 

 

1. 우선 쉬운 경우를 생각합니다.

 

2. 일반적인 경우도 어떻게든 변환하여 쉬운 경우로 귀착시킵니다. 

 

 

예시 : 시스템이 폭주하는 경우(1차원) 

 

$x(t) = 7x(t - 1)$

 

이 식은 어떤 t라도 성립합니다.  

 

즉, $x(t - 1) = 7x(t - 2), x(t - 2) = 7x(t - 3)$이고, $x(t) = 7x(t - 1) = 7 * 7x(t - 2) = 7 * 7 * 7x(t - 3)$ = ··· = $7^{t} x(0)$ 쓸 수 있습니다. 

 

결국, 초깃값 $x(0)$이 주어지면 $x(t)$를 계산할 수 있습니다. 

 

$t$ -> $\infty$인 경우 $7^{t}$ -> $\infty$입니다.  

 

$x(0) = 0$이 아니면 $t$ -> $\infty$, | x(t) | -> $\infty$이므로 이 시스템은 '폭주'합니다. 

 

 

예시 : 시스템이 폭주하지 않는 경우(1차원) 

 

$x(t) = 0.2x(t - 1)$일 때, 위의 예시와 같이 해주면 $x(t) = 0.2^{t} x(0)$입니다. 

 

$t$ -> $\infty$일 때 $0.2^{t}$ -> 0인 것에 주목하면 

 

어떤 초깃값 $x(0)$라도 $t$ -> $\infty$에서는 x(t) -> 0이 되고 이 시스템은 폭주하지 않음을 알 수 있습니다. 

 

 

일반화

 

$x(t) = ax(t - 1)$일 때,  

 

$x(t)$ = $a^{t}$x(0)이고, | a | > 1이면 폭주. | a | $\leq$ 1이면 폭주하지 않습니다. 

 

 

프로그래머를 위한 선형대수(길벗)의 내용을 바탕으로 요약 작성되었습니다.