4.4.1 변수변환(1)

일반적인 A 대각행렬로 귀착하기 

 

세 가지 표현(변수변환, 좌표변환, 거듭제곱계산) 중에 가장 이해하기 쉬운 표현으로 사용하자!

 

 

변수변환

 

$x_1, ..., x_n$을 여러모로 재배치해보자.

 

(원래의 변수)   문제     답

---------------    ↕      ↕

(괜찮은 변수)   문제'    답'

 

예시

 

$\begin{pmatrix}
x_1(t) \\ 
x_2(t)
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
5 & 1\\ 
1 & 5
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
x_1(t-1) \\ 
x_2(t-1)
\end{pmatrix} $

 

분해합니다.

 

$x_1(t) = 5x_1(t-1) + x_2(t-1)$
$x_2(t) = x_1(t-1) + 5x_2(t-1)$

 

 

$y_1(t) = x_1(t) + x_2(t)$ 
$y_2(t) = x_1(t) - x_2(t)$

 

$y_1(t) = x_1(t) + x_2(t)$ 
       $= (5x_1(t-1) + x_2(t-1)) + (x_1(t-1) + 5x_2(t-1))$ 
       $= 6x_1(t-1) + 6x_2(t-1)$ 
       $= 6y_1(t-1)$

$y_2(t) = x_1(t) - x_2(t)$ 
       $= (5x_1(t-1) + x_2(t-1)) - (x_1(t-1) + 5x_2(t-1))$ 
       $= 4x_1(t-1) - 4x_2(t-1)$ 
       $= 4y_2(t-1)$

 

$y_1(t) = 6^{^{t}}y_1(0)$ 
$y_2(t) = 4^{^{t}}y_2(0)$

 

$y_1,  y_2$는 폭주하는 것이 보인다. 

 

$x_1(t) = \frac{y_1(t) + y_2(t)}{2}$ 
$x_2(t) = \frac{y_1(t) - y_2(t)}{2}$

 

에 $y_1(t),  y_2(t)$ 대입하면,

 

$x_1(t) = 6^ty_1(0) + 4^ty_2(0)$ 
        $= \frac{6^t(x_1(0)+x_2(0)) + 4^t(x_1(0)-x_2(0))}{2}$
        $= (\frac{6^t + 4^t}{2})x_1(0) + (\frac{6^t - 4^t}{2})x_2(0)$ 

$x_2(t) = 6^ty_1(0) - 4^ty_2(0)$ 
        $= \frac{6^t(x_1(0)+x_2(0)) - 4^t(x_1(0)-x_2(0))}{2}$ 
        $= (\frac{6^t - 4^t}{2})x_1(0) + (\frac{6^t - 4^t}{2})x_2(0)$

 

$t \rightarrow \infty$에서는 $(6^t \pm 4^t)/2 \rightarrow \infty$이므로 $x_1, x_2$도 역시 폭주 

 

 

행렬로 바꿔 말하면 

 

$\textbf{y}(t) = C\textbf{x}(t),   ~C = \begin{pmatrix}
1 & 1\\ 
1 & -1
\end{pmatrix}$

 

$\textbf{x}(t) = (x_1(t),x_2(t))^{T}$에서 $\textbf{y}(t) = (y_1(t),y_2(t))^{T}$로 변환하면  

 

$\textbf{x}(t) = A\textbf{x}(t-1)$을 $\textbf{y}(t) = \Lambda \textbf{y}(t-1),$ $\Lambda= \begin{pmatrix}
6 & 0\\ 
0 & 4
\end{pmatrix}$

 

로 바꿔쓸 수 있습니다. 이 $\Lambda$는 대각이므로

 

$\textbf{y}(t) = \Lambda^t \textbf{y}(0)=\begin{pmatrix}
6^t & 0\\ 
0 & 4^t
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
y_1(0)\\ 
y_2(0)
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
6^ty_1(0)\\ 4^ty_2(0)
\end{pmatrix}$

 

으로 간단히 풀 수 있습니다. 이제 y를 x로 되돌리면

 

$\begin{pmatrix}
x_1(t)\\x_2(t) 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{y_1(t)+y_2(t)}{2}\\\frac{y_1(t)-y_2(t)}{2} 
\end{pmatrix}$

 

를 요약하면

 

$\begin{pmatrix}
x_1(t)\\x_2(t) 
\end{pmatrix} = C^{-1}\textbf{y}(t) = \begin{pmatrix}
1/2 & 1/2\\ 
1/2 & -1/2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
y_1(t)\\y_2(t)
\end{pmatrix}$

 

이 식을 사용하여 x로 되돌리면

 

$\begin{pmatrix}
x_1(t)\\x_2(t) 
\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}
1/2 & 1/2\\ 
1/2 & -1/2
\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}
y_1(t)\\y_2(t)
\end{pmatrix}$ 
     $=\begin{pmatrix}
     1/2 & 1/2\\ 
     1/2 & -1/2
     \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
     6^t & 0\\ 
     0 & 4^t
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    y_1(0)\\y_2(0)
    \end{pmatrix}$ 
    $=\begin{pmatrix}
    6^t/2 & 4^t/2\\ 
    6^t/2 & -4^t/2
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    y_1(0)\\y_2(0)
    \end{pmatrix}$

 

$\textbf{y}(0) = C\textbf{x(0)}$이므로

 

$\begin{pmatrix} 
x_1(t)\\x_2(t)  
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
    6^t/2 & 4^t/2\\  
    6^t/2 & -4^t/2 
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1\\  
1 & -1 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
x_1(0)\\  
x_2(0) 
\end{pmatrix}$

    = $\begin{pmatrix}
    (6^t+4^t)/2 & (6^t-4^t)/2\\ 
    (6^t-4^t)/2 & (6^t+4^t)/2 
    \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
    x_1(0)\\  
    x_2(0) 
    \end{pmatrix}$

 

여기까지가 예시였습니다.

 

수식이 많지만 하나씩 풀다보면 어렵지 않다는 것을 느끼실 것입니다.

 

다음시간에는 일반화를 해보겠습니다.