4.4.1 변수변환(2)

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4.4.1 변수변환(1)

전 내용 복습하기!

 

 

 

일반화

 

1.  변수 $\textbf{x}(t)$를 다른 변수 $\textbf{y}(t)=  C\textbf{x}(t)$로 변환합니다. 

2. $\textbf{x}(t)$ 식으로 주어진 차분방정식을 $\textbf{y}(t)$ 식으로 다시 씁니다.

3. 고쳐 쓴 식은 '대각행렬의 경우'가 되어 간단히 풀립니다.

4. 풀어서 얻은 $\textbf{y}(t)$를 $\textbf{x}(t)$로 되돌리면 답입니다. 

 

포인트: 

$\textbf{y}(t)$의 식으로 고쳐 쓰면 '대각행렬의 경우'가 된다는 부분.

 

좋은 C를 발견하기 위해서는 어떻게 해야할까?

 

$\textbf{x}$, $\textbf{y}$가 일대일대응이 되어 주지 않으면 $\textbf{x}$, $\textbf{y}$를 자유자재로 오고갈 수 없어 성가십니다.

 

대응하는 $\textbf{x}(t)$가 없거나, 아주 많다면 문제가 생깁니다.

 

따라서 C는 일대일대응이 보장되도록 정칙행렬로 합니다.

 

$\textbf{y}(t)=  C\textbf{x}(t)$
$\textbf{x}(t)=  C^{-1}\textbf{y}(t)$ 

 

와 같이 '$\textbf{x} \rightarrow \textbf{y}$'가 주, '$\textbf{y} \rightarrow \textbf{x}$'가 종이었던 표현을 

 

$\textbf{x}(t)=  P\textbf{y}(t)$

$\textbf{y}(t)=  P^{-1}\textbf{x}(t)$

 

와 같이 '$\textbf{y} \rightarrow \textbf{x}$'가 주, '$\textbf{x} \rightarrow \textbf{y}$'가 종인 표현으로 고칩니다.

 

$C = P^{-1}$ 
$P = C^{-1}$

 

이라고 바꿔읽으면 되는 것으로 의미는 같습니다.

 

변수 $\textbf{x}(t)$에 어떤 정칙행렬 P를 가져와서 

 

$\textbf{x}(t) = P\textbf{y}(t)$ 

$\textbf{x}(t) = A\textbf{x}(t-1)$를 고려해보면 

$\textbf{x}(t) = P\textbf{y}(t)$ 변환은  

$\textbf{y}(t) = P^{-1}\textbf{x}(t)$이므로

 

$\textbf{y}(t) = P^{-1}\textbf{x}(t) = P^{-1}A\textbf{x}(t-1)$

             $= P^{-1}A(P\mathbf{y}(t-1))=(P^{-1}AP)\textbf{y}(t-1)$

 

$\textbf{y}$로 보면 $\textbf{x}(t) = A\textbf{x}(t-1)$이라는 마법의 상자 시스템이

 

$\textbf{y}(t) = \Lambda\textbf{y}(t-1)$
$\Lambda = P^{-1}AP$ 

 

로 변합니다.

 

이 $\Lambda$가 만약 대각행렬이면 

 

$\textbf{y}(t) = \Lambda ^{t}\textbf{y}(0)$ 

 

으로 간단하게 $\textbf{y}(t)$가 구해집니다.

 

나머지는 $\textbf{x}(t) = P\textbf{y}(t)$와 $\textbf{y}(0) = P^{-1}\textbf{x}(0)$에서

 

$\textbf{x}(t) = P\textbf{y}(t) = P\Lambda^{t}\textbf{y}(0) = P\Lambda^{t}P^{-1} \textbf{x}(0)$ 

 

으로 $\textbf{x}$도 구해져 무사히 일단락 됩니다. 좋은 정칙행렬 P를 골라$P^{-1}AP$를 대각행렬로 한다'

 

가 가능하면 딱 좋습니다.

 

이 작업을 '대각화'라고 합니다.