4.3 대각행렬의 경우

 

예시 : 대각 행렬(다차원) 

 

다차원이라도 대각행렬이면 간단해집니다.

 

$\boldsymbol {x}(t) = (x_1(t), ~x_2(t), ~x_3(t))^T$로 두고 

 

${\textbf {x}}(t)$ = $\begin {bmatrix}
 5&  0& 0\\ 
 0&  -3& 0\\ 
 0&  0& 0.8
\end{bmatrix}$${\textbf{x}}(t - 1)$를 가정합니다. 

 

위의 행렬은 아래의 식을 행렬로 표현한 것에 불과합니다. 

 

$x_1(t) = 5x_1(t - 1)$

$x_2(t) = -3x_2(t - 1)$

$x_3(t) = 0.8x_3(t - 1)$

 

4.2의 1차원의 경우처럼 계산해보면 

 

$x_1(t) = 5^tx_1(0)$
$x_2(t) = (-3)^tx_2(0)$
$x_3(t) = 0.8^tx_3(0)$

 

답이 나옵니다. 행렬로 고쳐쓰면 

 

${\textbf {x}}(t)$ = $\begin {bmatrix} 
 5^t&  0& 0\\  
 0&  (-3)^t& 0\\  
 0&  0& 0.8^t
\end{bmatrix}$$\textbf{x}(0)$=$\begin{bmatrix} 
 5&  0& 0\\  
 0&  -3& 0\\  
 0&  0& 0.8
\end{bmatrix}^{t}$$\mathbf{x}(0)$입니다. 

 

초깃값 $\textbf{x}(0)$이 $x_1(0)  = x_2(0) = x_3(0) = 0$이 아닌 한 $t \rightarrow \infty$에서는 $x_1(t)$나 $x_2(t)$가 발산하므로 시스템은 폭주합니다. 

 

(초깃값이 완벽히 폭주하지 않음을 보장하지 않는다면 (즉, 폭주 가능성이 있으면) 폭주할 위험성이 있다고 봐야합니다.)

 

 

정리 

 

$\textbf {x}(t) = A\textbf {x}(t - 1)$

$A = diag(a_1,..., a_n)$
$\textbf {x}(t) = (x_1(t),..., x_n(t))^T$이면, 

 

$A\textbf {x}$는 $(a_1x_1,..., a_nx_n)^T$이므로 계산하면 

 

$x_1(t) = {a_{1}}^{t} x(0)$

              $\vdots$  
$x_n(t) = {a_{n}}^{t} x(0)$입니다. 

 

다시 행렬로 나타내면 

 

${\textbf {x}}(t)$ = $\begin {bmatrix}  
 a_1^t&  & \\   
 &  \ddots & \\   
 &  & a_n^t 
\end {bmatrix}$$\textbf {x}(0)$ = $\begin {bmatrix}  
 a_1&  & \\   
 &  \ddots & \\   
 &  & a_n 
\end {bmatrix}^{t}$$\textbf {x}(0)$ (빈칸은 0)입니다. 

 

$\left | a_1 \right |$,..., $\left | a_n \right |$ 중 하나라도 1보다 크면 폭주합니다.
$\left | a_1 \right |$,..., $\left | a_n \right |$ $~\leq ~1$이면 폭주하지 않습니다. 

 

 

프로그래머를 위한 선형대수(길벗)의 내용을 바탕으로 요약 작성되었습니다