4.1 문제 설정: 안정성

 

시간을 고려한 시스템 개요

 

어떤 값 a를 입력하면 값 $\xi$가 나오는 상자를 고려해봅니다. 

 

$a \rightarrow \square \rightarrow \xi$

 

(시간을 명시하고 싶을 때는 a(t)나 $\xi(t)$라고 쓰면 됩니다)

 

a에 대응한 $\xi$가 나온다면 이는 단순히 함수 $\xi = f(a)$의 형태입니다. 

 

그러나 지금의 a(t)만이 아닌 과거의 a에 따라서도 현재의 출력 $\xi(t)$가 달라지는 것을 고려하겠습니다.

 

위의 예시로 제어 대상의 모델, 신호 전달의 모델, 예측, 필터 등이 있습니다. 

 

 

시간 t의 타입

 

시간 t는 대상에 따라 다르게 해석합니다. 

 

물리 현상의 경우는 연속 값(실숫값)이고, 컴퓨터 처리의 경우는 이산 값(정수 값)입니다. 

 

앞에서 본 상자의 타입으로 자기회귀모델을 고려해보겠습니다. 

 

 

t가 이산시간인 경우

 

오늘의 $\xi(t)$는 어제의 $\xi(t-1)$, 이틀 전의 $\xi(t-2)$, 사흘 전의 $\xi(t-3)$과 오늘의 a(t)에 따라 정해집니다. 

 

$\xi(t) = -0.5\xi(t-1) + 0.34\xi(t-2) + 0.08\xi(t-3) + 2a(t)$    (4.1)

 

초기 조건 $\xi(0) = 0.78, ~\xi(-1) = 0.8, ~\xi(-2) = 1.5$  

 

 

t가 연속시간인 경우

 

마찰과 탄력성이 작용하는 상황에서 물체에 힘 a(t)를 가한 경우의 운동이나, 저항과 콘덴서와 코일을 조합한 전기회로에 전압 a(t)를 건 경우의 행동은 아래와 같은 미분방정식을 따릅니다.

 

$\frac {\mathrm {d^{2}} }{\mathrm {d} t^{2}} \xi(t) = -3\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}\xi(t) - 2\xi(t) + 2a\xi(t)$

 

초기 조건은 $t = 0$으로 두고 $\xi = -1$, $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm {d} t}\xi = 3$로 설정합니다. 

 

 

모델의 목표

 

관심은 폭주의 위험이 있는가에 있습니다. 

 

어떠한 상황에서 시작해도 $\xi(t)$는 유한한 범위에 머무는지(폭주하지 않음), 아니면 운이 나쁜 상태에서 시작하면 |$\xi(t)$|가 무한대로 커져 버리는가(폭주)를 판정합니다. 

 

 

행렬의 표현(이산형 예시)

 

식 (4.1)을 행렬로 표현해보겠습니다. 

 

$\textbf{x}(\textbf{t}) = (\xi(t), ~\xi(t-1), ~\xi(t-2))^{^{T}}$로 두고, a(t) = 0이라 하면, 

 

$\mathbf {x}(t) = \begin {bmatrix}            
-0.5 & 0.34 & 0.08\\  
1 & 0 & 0\\  
0 & 1 & 0 
\end{bmatrix}\textbf{x}(t-1)$,      

$\textbf {x}(0) = \begin {bmatrix}
0.78\\ 0.8 
\\ 1.5 
\end{bmatrix}$,

 

$\textbf {x}(t) = A\textbf{x}(t-1)$ 시스템입니다.

 

$\textbf{x}(t) = (x_{1}(t),..., x_{n}(t))^{T}$는 n차원의 벡터,

 

A는 nxn인 행렬입니다. 

 

우리의 과제는 이 시스템이 어떤 초깃값 $\textbf {x}(0)$에서 시작해도 $\textbf{x}(t)$는 유한의 범위에 머무는가(폭주하지 않음), 운이 나쁜 초깃값 $\textbf{x}(0)$에서 시작하면 $\textbf {x}(t)$의 성분이 무한대까지 치우쳐 버리는가(폭주) 판정하는 것입니다.

 

 

프로그래머를 위한 선형대수(길벗)의 내용을 바탕으로 요약 작성되었습니다.