감마분포 with python

 

감마분포 확률밀도함수

 

감마분포의 확률밀도함수는 다음과 같습니다. 

 

$f(x; \alpha, \beta) =  \frac {1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}x^{\alpha - 1} e^{-\frac {x}{\beta}}$ ($x > 0$)

 

 

감마분포 그래프 그리기(함수 사용)

 

from numpy import linspace, exp
# numpy.linspace(start, stop, num=50, endpoint=True, retstep=False, dtype=None, axis=0) 
# numpy.exp(x, /, out=None, *, where=True, casting='same_kind', order='K', dtype=None, subok=True[, signature, extobj]) = <ufunc 'exp'>

# start = 0, stop = 50, num = 101)로 설정
x = linspace(0, 50, 101)
x

결과1

 

$x$의 범위는 0에서 50까지 100 등분하였습니다.  

 

from scipy.special import gamma
# scipy.special.gamma(z) = <ufunc 'gamma'>

shape = 5
scale = 2
y = x ** (shape - 1) * exp(-x / scale) / (scale ** shape * gamma(shape))
y

결과2

 

감마 분포의 공식으로 y를 계산하겠습니다. 

 

$\alpha = 5$, $\beta = 2$인 감마 분포입니다. 

 

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('P(X)')
plt.title('Gamma Distribution(shape = 5, scale = 2, loc = 0)')
plt.grid()
plt.show()

결과3

 

그래프를 그리면 위와 같습니다. 

 

 

감마분포 그래프 그리기(scipy 사용)

 

from scipy.stats import gamma
# scipy.stats.gamma = <scipy.stats._continuous_distns.gamma_gen object>

# loc : location parameter (default=1)
loc = 0
y1 = gamma(shape, loc, scale).pdf(x)        
print(y1)

plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.plot(x, y1, 'r')        
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('P(X)')
plt.grid()
plt.title('Gamma Distribution(shape = 5, scale = 2, loc = 0)') 
plt.show()

결과4

결과5

scipy.stats를 이용해 감마 분포를 계산하고 그래프를 그렸습니다. 

 

결과가 거의 똑같이 나왔습니다. 실제 수식으로 계산한 것과 차이를 느끼지 못합니다. 

 

 

감마분포 변형

 

from numpy import arange
# numpy.arange(start, stop, step, dtype=None)

plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('P(X)')
plt.title('Gamma Distribution(loc = 0, scale = 2)')
plt.grid()

for shape in arange(5, 25, 5):
    plt.plot(x, gamma(shape, loc, scale).pdf(x), label='(shape=' + str(shape) + ')')
    
plt.legend()
plt.show()

결과6

$\beta$와 loc를 고정하고 $\alpha$만 바꿔서 그래프를 그려보았습니다. 

 

$\alpha$가 커질수록 더 많이 흩어집니다. 

 

shape = 10

plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('P(X)')
plt.title('Gamma Distribution(shape = 10, loc = 0)')
plt.grid()

for scale in arange(1, 4):
    plt.plot(x, gamma(shape, loc, scale).pdf(x), label='(scale=' + str(scale) + ')')
    
plt.legend()
plt.show()

결과7

 

$\alpha$와 loc를 고정하고 $\beta$만 바꿔서 그래프를 그려보았습니다.

 

$\beta$가 커질수록 더 많이 흩어집니다. 

 

shape = 10
scale = 2

plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('P(X)')
plt.title('Gamma Distribution(shape = 10, scale = 2)')
plt.grid()

for loc in arange(5) * 2 - 1:
    plt.plot(x, gamma(shape, loc, scale).pdf(x), label='(loc=' + str(loc) + ')')
    
plt.legend()
plt.show()

결과8

 

$\alpha$와 $\beta$를 고정하고 loc만 바꿔서 그래프를 그려보았습니다.

 

loc는 location parameter (default=0)을 나타냅니다. 

 

위치가 달라진 것을 보실 수 있습니다.