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수리통계학/평균과 분산

확률변수의 분산

by 지식광부키우기 2019. 10. 1.

 

확률변수 X의 분산(variacne)

 

X의 확률분포의 분산이라고도 하며, g(X)=(Xμ)2의 평균입니다.

 

Var(X) 또는 σ2X, σ2으로 표시합니다.

 

Xμ는 관측값의 평균으로부터의 편차(deviation)입니다.

 

 

정의

 

확률변수 X가 확률분포 f(x), 평균 μ를 가진다고 할 때, X의 분산은 

 

Var(X)=σ2=E[(Xμ)2]= 

x(xμ)2f(x) (이산형)

(xμ)2f(x)dx (연속형) 

 

입니다.

 

VarX=σ2=σX의 표준편차(standard deviation)라고 합니다.

 

 

분산 예시(이산형)

 

A, B 두 회사에서 사업목적으로 사용된 자동차의 수를 확률변수 X로 설정합니다.

 

A 회사에 대한 확률분포

 

x 1 2 3
f(x) 0.3 0.4 0.3

 

B 회사에 대한 확률분포

 

x 0 1 2 3 4
f(x) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1

 

확률분포의 분산을 비교해 봅니다.

 

A 회사의 경우

 

μA=E(X)=(1)(0.3)+(2)(0.4)+(3)(0.3)=2

 

σ2A=3x=1(x2)2f(x)=(12)2(0.3)+(22)2(0.4)+(32)2(0.3)=0.6

 

B 회사의 경우 

 

A와 같은 방식으로 진행합니다. 평균이 2, 분산이 1.6 나오면 맞습니다.

 

B회사의 분산이 A 회사보다 더 큽니다.

 

 

분산 구하는 두 번째 방법

 

확률변수 X의 분산은 σ2=E(X2)μ2을 만족합니다.

 

증명 (연속형)

 

σ2=(xμ)2f(x)dx=(x2μx+μ2)f(x)dx=x2f(x)dx2μxf(x)dx+μ2f(x)dx=E(X2)2μ2+μ2=E(X2)μ2

 

 

종속 확률변수의 분산

 

X가 확률분포 f(x)를 가지는 확률변수이면, 확률변수 g(X)의 분산은

 

σ2g(X)=E[(g(X)μg(X))2]= 

x(g(x)μg(X))2f(x) (이산형)

(g(x)μg(X))2f(x)dx (연속형)

 

 

종속 확률변수의 분산 예시(연속형)

 

확률변수 X의 확률밀도함수가

 

f(x)=x23, -1 < x < 2이고 그 외의 x에서 0일 때,

 

g(X)=4X+3의 분산을 구해보세요

 

μ4X+3=E(4X+3)=21(4x+3)x23dx=1321(4x3+3x2)dx=8

 

σ24X+3=E([(4X+3)8]2)=E((4X5)2)=21(4x5)2x23dx=1321(16x440x3+25x2)dx=515

 

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