확률변수 X의 분산(variacne)
X의 확률분포의 분산이라고도 하며, g(X)=(X−μ)2의 평균입니다.
Var(X) 또는 σ2X, σ2으로 표시합니다.
X−μ는 관측값의 평균으로부터의 편차(deviation)입니다.
정의
확률변수 X가 확률분포 f(x), 평균 μ를 가진다고 할 때, X의 분산은
Var(X)=σ2=E[(X−μ)2]=
∑x(x−μ)2f(x) (이산형)
∫∞−∞(x−μ)2f(x)dx (연속형)
입니다.
√VarX=√σ2=σ를 X의 표준편차(standard deviation)라고 합니다.
분산 예시(이산형)
A, B 두 회사에서 사업목적으로 사용된 자동차의 수를 확률변수 X로 설정합니다.
A 회사에 대한 확률분포
x | 1 | 2 | 3 |
f(x) | 0.3 | 0.4 | 0.3 |
B 회사에 대한 확률분포
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 | 0.1 |
확률분포의 분산을 비교해 봅니다.
A 회사의 경우
μA=E(X)=(1)(0.3)+(2)(0.4)+(3)(0.3)=2
σ2A=∑3x=1(x−2)2f(x)=(1−2)2(0.3)+(2−2)2(0.4)+(3−2)2(0.3)=0.6
B 회사의 경우
A와 같은 방식으로 진행합니다. 평균이 2, 분산이 1.6 나오면 맞습니다.
B회사의 분산이 A 회사보다 더 큽니다.
분산 구하는 두 번째 방법
확률변수 X의 분산은 σ2=E(X2)−μ2을 만족합니다.
증명 (연속형)
σ2=∫∞−∞(x−μ)2f(x)dx=∫∞−∞(x−2μx+μ2)f(x)dx=∫∞−∞x2f(x)dx−2μ∫∞−∞xf(x)dx+μ2∫∞−∞f(x)dx=E(X2)−2μ2+μ2=E(X2)−μ2
종속 확률변수의 분산
X가 확률분포 f(x)를 가지는 확률변수이면, 확률변수 g(X)의 분산은
σ2g(X)=E[(g(X)−μg(X))2]=
∑x(g(x)−μg(X))2f(x) (이산형)
∫∞−∞(g(x)−μg(X))2f(x)dx (연속형)
종속 확률변수의 분산 예시(연속형)
확률변수 X의 확률밀도함수가
f(x)=x23, -1 < x < 2이고 그 외의 x에서 0일 때,
g(X)=4X+3의 분산을 구해보세요
μ4X+3=E(4X+3)=∫2−1(4x+3)x23dx=13∫2−1(4x3+3x2)dx=8
σ24X+3=E([(4X+3)−8]2)=E((4X−5)2)=∫2−1(4x−5)2x23dx=13∫2−1(16x4−40x3+25x2)dx=515
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