포아송 분포, 평균과 분산 증명

▶ 포아송 실험

 

주어진 시간 간격 또는 일정한 영역 내에서 발생하는 결과들의 수를 나타내는 확률변수 $X$의 값을 산출하는 실험입니다.

 

일정 시간

 

일정 시간 동안에 방문한 고객의 수

사무실에 걸려오는 시간당 전화 수

하루 동안 태어나는 아기 수

 

일정 영역 

 

단위 면적 당 들쥐의 수

한 페이지 당 오타 수

▶ 포아송 과정

 

1. 단위 시간 간격이나 일정 영역에서 발생하는 결과의 수는 서로 겹치지 않는 다른 시간 간격이나 영역에서 발생하는 수와 독립 - 건망 성 특징

 

2. 매우 짧은 시간 간격이나 적은 영역에서 단 한 번의 결과가 일어날 확률은 시간간격의 길이나 영역에 비례하고, 그 시간 간격이나 영역 외부에서 발생하는 결과의 수와는 무관

 

3. 매우 짧은 시간간격이나 적은 영역에서 둘 이상의 결과가 일어날 확률은 무시할 수 있습니다.

 

 

▶ 포아송 확률변수

 

포아송 실험에서 결과의 발생횟수 $X$

 

 

▶ 포아송 분포

 

포아송 확률변수의 확률분포, $p(x;\lambda t)$로 표시합니다.  

 

(주어진 시간 간격/거리/면적/부피 $t$ 동안 평균적으로 발생한 결과의 수 $\mu = \lambda t$)

 

$p(x; \lambda t) = \frac {e^{\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!},  x = 0, 1, 2,...$

 

여기서 $\lambda$는 단위 시간 또는 단위면적에서 발생하는 결과의 수, $e = 2.71828...$

 

$1 = e^{-z} e^{z} = e^{-z}(\sum_{k=0}^{\infty}\frac {z^{k}}{k!})=\sum_{k=0}^{\infty} e^{-z}\frac {z^{k}}{k!}$인데

 

$z = \lambda t, k = x$로 표현하면

 

$1 = \sum_{x=0}^{\infty}\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!} = \sum_{x} p(x;\lambda t)$를 얻는다.

▶ 포아송 분포 $p(x; \lambda t)$의 평균과 분산은 $\lambda t$이다.

 

증명

 

$\mu = E(X) = \sum_{x=0}^{\infty} x ~\cdot \frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!} = \sum_{x = 1}^{\infty} x ~\cdot \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!} = \lambda t \sum_{x=1}^{\infty} \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x-1}}{(x-1)!} = \lambda t \sum_{y=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{y}}{y!} = \lambda t \sum^{\infty}_{y=0} p(y;\lambda t) = \lambda t$

 

$p(x; \lambda t) = \frac {e^{\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!} = \frac {e^{\mu}\mu^{x}}{x!} = p(x;\mu)$로 표시

 

$E [X(X-1)] = \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) ~\cdot \frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!}  = \sum_{x=2}^{\infty} x(x-1) ~\cdot \frac {e^{-\mu}\mu^{x}}{x!}  = \mu^{2}\sum_{x=2}^{\infty}\frac {e^{-\mu}\mu^{x-2}}{(x-2)!}  = \mu^{2}\sum_{y=0}^{\infty}\frac {e^{-\mu}\mu^{y}}{y!}  = \mu^{2}\sum_{y=0}^{\infty} p(y;\mu) = \mu^{2}$

 

$\sigma^{2} = E [X(X-1)] + \mu - \mu^{2} = \mu^{2} + \mu - \mu^{2} = \mu (= \lambda t)$