회귀계수의 추론(기울기)

$i = 1,2,..., n$에 대해 $\varepsilon_{i}$은 정규분포를 따른다고 가정 

 

$Y_{i}$는 정규분포 $n(y_{i};\alpha+\beta x_{i}, \sigma)$를 따름

 

A, B는 독립인 정규확률변수의 선형 함수이므로 $n(a; \alpha, \sigma_{A})$, $n(b; \beta, \sigma_{B})$의 정규분포를 따름 

 

 

▶ 기울기 $\beta$의 추정

 

$\chi^{2}  = \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \sum_{i=1}^{n}\frac{(X_{i}-\bar {X})^{2}}{\sigma^{2}}$은 자유도 $v = n - 1$인 카이제곱분포를 따른다.

 

통계량 $\frac{(n-2)S^{2}}{\sigma^{2}}$은 확률변수 B와 독립으로 자유도 n - 2인 카이제곱 분포를 따른다.

 

$Z$는 표준정규확률변수, $V$는 자유도 $v$인 카이제곱확률변수이고, $Z$와 $V$가 서로 독립일 때 $T = \frac{Z}{\sqrt{V/v}}$는 자유도 $v$인 $t$분포를 따른다.

 

$X_{1}, X_{2}, ..., X_{n}$이 모두 평균이 $\mu$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따르고 서로 독립인 확률변수 일 때, 확률변수 $T = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$은 자유도가 $v = n -1$인 $t$분포를 따른다 

 

$\frac {B - \beta}{\sqrt {\frac {\sigma^{2}}{S_{xx}}}}$는 표준 정규분포, $\frac {SSE}{\sigma^{2}} = \frac{(n-2) S^{2}}{\sigma^{2}}$은 자유도 $n - 2$인 카이제곱 분포를 따른다.

 

$T = \frac{(B - \beta)/(\sigma/\sqrt{S_{xx}})}{S/\sigma} = \frac {B - \beta}{S/\sqrt {S_{xx}}}$는 자유도 $n - 2$인 $t$분포를 따른다. 

 

 

▶ $\beta$의 신뢰구간: 회귀직선 

 

$\mu_{Y\mid_{x}} = \alpha + \beta x$에서 $\beta$의 $100(1-\alpha)%$의 신뢰구간은

 

$b - t_{\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{S_{xx}}}t_{\frac {\alpha}{2}}\frac {s}{\sqrt {S_{xx}}} < \beta < b + t_{\frac {\alpha}{2}}\frac {s}{\sqrt {S_{xx}}}$

 

$t_{\frac {\alpha}{2}}$는 자유도 $n - 2$인 $t$분포의 값이다.

 

 

▶ 기울기 가설 검정

 

귀무가설 $H_{0} : \beta = \beta_{0}$을 검정하는 경우

 

$t = \frac {b-\beta_{0}}{s/\sqrt {S_{xx}}}$ (자유도 n - 2인 t분포) 이용