▶ 포아송 실험
주어진 시간 간격 또는 일정한 영역 내에서 발생하는 결과들의 수를 나타내는 확률변수 $X$의 값을 산출하는 실험입니다.
일정 시간
일정 시간 동안에 방문한 고객의 수
사무실에 걸려오는 시간당 전화 수
하루 동안 태어나는 아기 수
일정 영역
단위 면적 당 들쥐의 수
한 페이지 당 오타 수
▶ 포아송 과정
1. 단위 시간 간격이나 일정 영역에서 발생하는 결과의 수는 서로 겹치지 않는 다른 시간 간격이나 영역에서 발생하는 수와 독립 - 건망 성 특징
2. 매우 짧은 시간 간격이나 적은 영역에서 단 한 번의 결과가 일어날 확률은 시간간격의 길이나 영역에 비례하고, 그 시간 간격이나 영역 외부에서 발생하는 결과의 수와는 무관
3. 매우 짧은 시간간격이나 적은 영역에서 둘 이상의 결과가 일어날 확률은 무시할 수 있습니다.
▶ 포아송 확률변수
포아송 실험에서 결과의 발생횟수 $X$
▶ 포아송 분포
포아송 확률변수의 확률분포, $p(x;\lambda t)$로 표시합니다.
(주어진 시간 간격/거리/면적/부피 $t$ 동안 평균적으로 발생한 결과의 수 $\mu = \lambda t$)
$p(x; \lambda t) = \frac {e^{\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!}, x = 0, 1, 2,...$
여기서 $\lambda$는 단위 시간 또는 단위면적에서 발생하는 결과의 수, $e = 2.71828...$
$1 = e^{-z} e^{z} = e^{-z}(\sum_{k=0}^{\infty}\frac {z^{k}}{k!})=\sum_{k=0}^{\infty} e^{-z}\frac {z^{k}}{k!}$인데
$z = \lambda t, k = x$로 표현하면
$1 = \sum_{x=0}^{\infty}\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!} = \sum_{x} p(x;\lambda t)$를 얻는다.
▶ 포아송 분포 $p(x; \lambda t)$의 평균과 분산은 $\lambda t$이다.
증명
$\mu = E(X) = \sum_{x=0}^{\infty} x ~\cdot \frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!}
= \sum_{x = 1}^{\infty} x ~\cdot \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!}
= \lambda t \sum_{x=1}^{\infty} \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x-1}}{(x-1)!}
= \lambda t \sum_{y=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^{y}}{y!}
= \lambda t \sum^{\infty}_{y=0} p(y;\lambda t) = \lambda t $
$p(x; \lambda t) = \frac {e^{\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!} = \frac {e^{\mu}\mu^{x}}{x!} = p(x;\mu)$로 표시
$E [X(X-1)] = \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) ~\cdot \frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!}
= \sum_{x=2}^{\infty} x(x-1) ~\cdot \frac {e^{-\mu}\mu^{x}}{x!}
= \mu^{2}\sum_{x=2}^{\infty}\frac {e^{-\mu}\mu^{x-2}}{(x-2)!}
= \mu^{2}\sum_{y=0}^{\infty}\frac {e^{-\mu}\mu^{y}}{y!}
= \mu^{2}\sum_{y=0}^{\infty} p(y;\mu) = \mu^{2}$
$\sigma^{2} = E [X(X-1)] + \mu - \mu^{2} = \mu^{2} + \mu - \mu^{2} = \mu (= \lambda t)$
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