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수리통계학/충분통게량

충분통계량(1)

by 지식광부키우기 2019. 9. 2.

 

충분통계량 정의 

 

모수 θ를 갖는 분포에서 추출한 확률 표본 X1,...,Xn에 대한 통계량 

 

Y=u(X1,...,Xn)이 주어질 때, Y의 가능한 어떠한 y값에 대해서도 Y=y일 때의 

 

X1,...,Xn 대한 조건부 확률분포가 θ와 무관하면 Y를 모수 θ 대한 충분 통계량이라 합니다.

 

쉽게 풀어쓰면 n개의 표본을 뽑는 대신 충분 통계량만으로도 모수 θ에 대한 동일한 추론이 가능하다는 것입니다. 

 

 

동전 던지기 예시 : 이산형   

 

하나의 동전을 n번 던지는 실험에서 시행결과를 관측하는 것은 베르누이 분포에서 크기 n인 확률 표본으로 

 

간주할 수 있고 한 번 던질 때 앞면이 나오는 확률 p를 추정하고 싶습니다. n번의 실행에서 앞면이 나오는 횟수 

 

Y=Xip에 대한 충분통계량인가요?

 

풀이 :

 

fX|Y(x1,...,xn|y)=P(X1=x1,...,Xn=xn|Y=y)   (y=xi)

                                           =P(X1=x1,...,Xn=xn,Y=y)P(Y=y)

                                           =P(X1=x1,...,Xn=xn)P(Y=y)

                                           =ni=1pxi(1p)1xi(ny)py(1p)ny=1(ny)

 

이 값은 p와 무관하므로 Yp에 대한 충분 통계량입니다.  

 

 

 

연속형 확률변수   

 

P(X1x1,...,Xnxn|Y=y)Θ와 무관하면 Y=u(X1,...,Xn)Θ에 대한 충분 통계량입니다.  

 

X1,...,XnY,Y2,...,Yn이 일대일 대응관계일 때 Y2,...,Yn|Y=y의 분포가 θ에 종속되어 있지 않으면

 

Y,Y2,...,Yn|Y=y의 분포도 θ와 무관합니다. 이때 X1,...,Xn|Y=y의 분포가 θ와 무관하므로

 

Y=u(X1,...,Xn)θ에 대한 충분 통계량입니다. 

 

 

정규분포 예시 : 연속형  

 

평균이 θ, 분산이 1인 정규분포에서 확률 표본 X1,X2을 추출하였습니다. Y=X1+X2θ에 대한 충분 통계량인가요?

 

풀이 : 

 

Y=X1+X2, Y=X2X1이면 (X1,X2), (Y,Y2)는 일대일 대응입니다.

 

fY2Y(y2y)θ에 종속되어 있지 않으면 Yθ에 대한 충분 통계량입니다.

 

정규분포에서 적률 생성 함수는 다음과 같습니다.

 

MX(t)=exp(μt+12σ2t2) 

 

문제에 적용하면 

MY(t)=E[et(X1+X2)]=E(etX1)E(etX2)=[exp(θt+12t2)]2=exp(2θt+t2) 

 

MY2(t2)=E[et2(X2X1)]=E(et2X2)E(et2X1)=[exp(θt2+12t22)][exp(θt2+12t22)]=et22

 

MYY2(t,t2) 

 

=E[exp(t(X1+X2)+t2(X2X1))] 

=E[exp((tt2)X1)+(t+t2)X2] 

=exp((tt2)θ+12(tt2)2)exp((t+t2)θ+12(tt2)2) 

=e2θt+t22et22  

=MY(t)MY2(t2)

 

Y, Y2는 서로 독립입니다. 

 

fY2Y(y2y)=12π12exp(12y222)입니다.

 

Y2Y의 분포가 평균이 0, 표준편차가 2인 정규분포이므로, θ와 무관합니다.

 

따라서 Y=X1+X2θ에 대한 충분 통계량입니다. 

 

 

유니와이즈 수리통계학의 내용을 바탕으로 요약 작성되었습니다.

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