Lecture 1: The geometry of linear equations

 

생각해보기

 

$n$개의 방정식(equation)과 $n$개의 미지수(unknowns)가 있습니다. 

 

이를 3가지로 나타낼 수 있습니다.

 

1. Row picture

 

2. Column picture (가장 중요합니다)

 

3. Matrix form 

 

 

2차원 예시

 

$2x - y = 0$

 

$-x + 2y = 3$

 

두 개의 방정식과 두 개의 미지수가 있습니다. 

 

이를 계수 행렬 A (coefficient matrix A)와 미지수 (unknowns)로 나타내겠습니다.

 

계수 (coefficient)는 미지수 x, y 앞에 곱해진 수를 의미합니다. 

 

$\begin{bmatrix} 
2 & -1\\  
-1 & 2 
\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 
x\\y  
\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 
0\\3  
\end{bmatrix}$

 

$A\textbf{x} = \textbf{b}$

 

 

Row Picture

 

그림1

 

두 직선이 교차하는 $x = 1, y = 2$가 해입니다. 

 

Row Picture는 행 방정식을 하나씩 놓고 공간 상에서의 표현과 의미를 보는 것입니다.  

 

예시에서 두 개의 직선이 그려지고 만나는 지점이 하나 있다는 것을 알 수 있습니다.

 

만나는 지점, 즉 교점이 해가됩니다.

 

 

Linear Combination of the Columns

 

$x\begin{bmatrix} 
2\\ 
-1  
\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 
-1\\ 
2  
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 
0\\ 
3 
\end{bmatrix}$

 

위와 같이 the columns의 선형 결합(linaer combinaton)으로 가능합니다.

 

x, y에 곱해지는 계수들을 따로 column으로 묶어서 변수와 column vector의 곱으로 표현했습니다. 

 

 

Column Picture

 

그림2

 

$\begin{bmatrix} 
2\\ 
-1  
\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 
-1\\ 
2  
\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 
0\\ 
3 
\end{bmatrix}$ 

 

를 그래프 위에 나타냈습니다. 

 

$x$에 1, $y$에 2를 넣으면 

 

그림3

 

해를 찾을 수 있습니다. 

 

Row picture의 해와 동일합니다. 

 

 

3차원 예시

 

$2x -  y      = 0$ 

$-x + 2y -  z = -1$ 

$   - 3y + 4z = 4$

 

$A = \begin{bmatrix} 
2& -1 & 0\\ 
-1& 2 & -1\\ 
0 & -3 & 4 
\end{bmatrix}$

 

$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 
0\\ 
-1\\ 
4 
\end{bmatrix}$

 

 

Row Picture

 

그림4

각 행의 방정식을 공간상에서 표현하면 보기 매우 어렵습니다. 

 

3차원에서는 한 행의 방정식은 평면을 형성하고 생성한 평면들이 한 점에서 만난다면 해가 존재합니다. 

 

 

Column Picture

 

그림5

 

$x\begin{bmatrix} 
2 \\ 
-1 \\ 
0  
\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 
-1 \\ 
2 \\ 
-3  
\end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 
0 \\ 
-1 \\ 
4  
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 
0 \\ 
-1 \\ 
4  
\end{bmatrix}$

 

Column picture는 선형 결합으로 표현됩니다. 

 

x,y,z에 어떤 값을 넣어줘야 우변의 벡터를 만들 수 있는지 생각합니다. 

 

Col3이 곧 b이므로 $x = 0$, $y = 0$, $z = 1$이 해입니다.

 

Row picture에 비해 훨씬 보기 쉽고 선형결합으로 표현되었기 때문에 해를 구하기도 편합니다. 

 

 

b 바꿔보기

 

$\mathbf{b}$를 다음과 같이 수정했습니다. 

 

$x\begin{bmatrix} 
2 \\ 
-1 \\ 
0  
\end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 
-1 \\ 
2 \\ 
-3  
\end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 
0 \\ 
-1 \\ 
4  
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 
1 \\ 
1 \\ 
-3  
\end{bmatrix}$

 

그림6

 

$x = 1$, $y = 1$, $z = 0$이 해가됩니다. 

 

 

궁금증

 

$A\textbf{X} = \textbf{b}$에서 모든 $\textbf{b}$를 구할 수 있을까요?

 

The columns의 선형결합은 3-D space를 채울 수 있나요?

 

선형결합으로 공간상의 모든 벡터를 만들어낼 수 있는가에 대한 질문은 굉장히 중요합니다.

 

위의 계수 행렬은 선형결합으로 3차원 공간을 채울 수 있습니다. 

 

각 column vector가 각기 다른 평면에 존재하기 떄문입니다. 

 

 

행렬 계산법

 

$A\textbf{X} = \textbf{b}$

 

$\begin{bmatrix}
2 & 5\\
1 & 3 
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 \\
2 
\end{bmatrix} = 1 \begin{bmatrix}
2 \\
1  
\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}
5 \\
3 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
12 \\
7 
\end{bmatrix}$

 

또는 고등학교 때 주로 썼던

 

$\begin{bmatrix}
2 & 5\\
1 & 3 
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 \\
2 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 * 1 + 5 * 2 \\
1 * 1 + 2 * 3 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
12 \\
7 
\end{bmatrix}$

 

방법으로 계산합니다.

 

 

마무리

 

$A\textbf{X}$가 A의 columns의 선형결합임을 아는 것이 중요합니다. 

 

Row picture: Intersection of planes

 

Column picture: Combination of columns