Lecture 5: Transposes, permutations, spaces R^n

 

치환 행렬 (Permutations Matrix) P : Execute Row Exchange

 

치환 행렬은 행 바꿈을 수행합니다. 

 

A = LU

 

$\begin{bmatrix} 
1 &  0& 0\\  
- & 1 & 0\\  
 -&  -& 1 
\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 
1 &  -& -\\  
0 & 1 & -\\  
 0&  0& 1 
\end{bmatrix}$

 

행 바꿈이 필요하지 않은 행렬 A의 경우 P는 단위행렬입니다. (단위 행렬도 치환 행렬 중 하나에 포함됩니다)

 

Any invertible A에도 PA = LU가 될 수 있습니다. (행 바꿈이 필요한 경우)

 

 

Permutations Matrix P

 

P는 단위 행렬에서 각 행을 바꾼 조합입니다. 

 

예를 들어 $P_{12}$는 1행과 2행을 바꾼 행렬을 의미합니다. 

 

 

치환 행렬의 조합과 속성

 

치환 행렬의 조합은 $n! = n(n-1) ... (3)(2)(1)$입니다. 

 

치환 행렬은 편리한 속성을 가지고 있습니다.

 

1. 치환 행렬 P는 역행렬이 존재합니다.  

 

2. 치환 형렬 P의 역행렬은 전치 행렬과 같습니다. 따라서 아래 식을 만족합니다. 

 

$P^{-1} = P^{T}$ 

 

$P^{T}P = I$

 

 

Transpose, Symmetric Matrices

 

$R^{T} $ = $\begin{bmatrix}  
1 & 3\\   
2 & 3\\   
4 & 1  
\end{bmatrix}^{T}$ $= \begin{bmatrix} 
1 & 2 & 4\\  
3 & 3 & 1 
\end{bmatrix}$ = $R$

 

전치에 대한 정의는 아래와 같습니다. 

 

Transpose $(A^{T})_{ij} = A_{ji}$

 

 

대칭 행렬 (Symmetric matrices)

 

전치를 한 후에도 원래 행렬과 같은 특성을 가집니다. $A^{T} = A$

 

Ex)

 

$\begin{bmatrix} 
3 & 1 & 7\\  
1 & 2 & 9\\  
7 & 9 & 4 
\end{bmatrix}$

 

 

$R^{T}R$은 항상 symmetric 합니다.

 

즉, 어떤 임의의 행렬과 그 행렬의 전치를 곱하면 항상 대칭 행렬이 됩니다. 

 

$\begin{bmatrix}  
1 & 3\\   
2 & 3\\   
4 & 1  
\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}  
1 & 2 & 4\\   
3 & 3 & 1  
\end{bmatrix} = $ $\begin{bmatrix} 
10 & 11 & 7\\  
11 &  13& 11\\  
7 & 11 & 17 
\end{bmatrix}$

 

수식으로 증명하면 아래와 같습니다. 

 

$(R^{T}R)^{T} = R^{T}R$

 

 

벡터 공간 (Vector Spaces)

 

벡터 공간이 성립하려면 선형 결합이 같은 공간상에 존재하는 벡터들 사이에 가능해야합니다. 

 

$R^{2}$ = all 2 - dim real vectors = "x - y plane"

 

$R$의 지수 부분 숫자는 차원을 의미합니다.

 

2차원 공간상에 존재하는 벡터의 예는 다음과 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} 
3\\ 2 
\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 
0\\ 0 
\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 
\pi\\ e 
\end{bmatrix}$

 

그림1

 

영벡터도 공간을 이루기 위해서 반드시 필요합니다.

 

선형 결합의 결과로 영벡터가 나오는 식을 생각하면 간단합니다. 

 

 

$R^{3}$ = all 3-dim real vectors with 3 components

 

즉, 3개의 실수 components들로 구성된 벡터들로 이루어진 공간입니다. 

 

$\begin{bmatrix} 
3\\ 2 
\\ 0 
\end{bmatrix}$

 

 

개념을 확장해서 생각하면 벡터 공간을 n차원까지 확장할 수 있습니다. 

 

$R^{n}$ = all n-dim realvecotrs with n components

 

 

벡터 공간이 아닌 경우 

 

2차원 공간에서 범위가 1사분면만인 경우 벡터 공간이라고 정의 할 수 없습니다. 

 

덧셈의 경우 어떤 두 벡터를 더하여 1사분면에 위치할 수 있지만 (덧셈에 닫혀있음)

 

곱셈의 경우 1사분면을 벗어날 수 있기 때문입니다. (곱셈에 닫혀있지 않음)

 

결국 벡터 공간을 정의하기 위해서는 선형 결합 연산이 성립하고 닫혀있어야 합니다.

 

 

A Vecotr Space Inside $R^{2}$, Subspace of $R^{2}$

 

부분 공간이란 n차원 공간에서 n차원 벡터들에 대해 선형 결합 연산이 가능한 작은 공간을 말합니다.

 

부분 공간 안에서는 벡터들끼리 선형 결합 연산이 가능해야합니다. 

 

 

그림2

 

Line in $R^{2}$ through zero vector 

 

직선에 존재하는 벡터들은 선형 결합 연산이 가능합니다. 따라서 부분 공간입니다. 

 

 

Subspaces of $R^{2}$

 

1. all of $R^{2}$ 

 

$R^{2}$ 자체가 하나의 부분 공간이 될 수 있습니다. 

 

2. any line through $\begin{bmatrix} 
0\\0 
\end{bmatrix}$ : $L$ 

 

$R^{2}$에 존재하는 직선이 부분 공간이 되기 위해서는 반드시 영벡터를 지나가야 합니다. 

 

임의의 벡터에 0을 곱하면 영벡터가 되기 때문입니다.

 

3. Zero vector only : $Z$ 

 

 

Subspaces of $R^{3}$

 

1. all of $R^{3}$

 

2. Plane through the origin (zero vector)

 

3. line through the origin (zero vector) 

 

4. $Z$ = $\begin{bmatrix} 
0\\0 \\0 
\end{bmatrix}$

 

 

Column Space C(A)

 

$A$ = $\begin{bmatrix} 
1 & 3\\2 & 3\\4 & 1 
\end{bmatrix}$ 

 

행렬에서도 부분 공간을 뽑아낼 수 있습니다. 

 

Column space가 바로 그러합니다. 

 

그림3

 

Columns in $R^{3}$

 

임의의 행렬에서 모든 열의 선형 결합은 부분 공간을 만들 수 있습니다. 

 

이를 column space C(A)라고 부릅니다. 

 

행렬 A의 열들의 선형 결합을 통해 $R^{3}$의 부분 공간은 평면임을 알 수 있습니다.